教程链接： https://www.bilibili.com/video/BV1nh411w7b4/
核心代码在kf_eigen.hpp文件里
卡尔曼滤波是一种常用的状态估计方法，其基本原理是对系统状态进行最优估计 。其主要**是将系统的状态分为先验状态和后验状态，通过将先验状态和观测值进行加权平均 ，得到最优估计状态。
卡尔曼滤波增益的计算是使后验误差协方差矩阵对角线上元素和（迹）最小 （协方差最小）
卡尔曼滤波假设系统状态和测量噪声都服从零均值的高斯分布，也就是正态分布的期望值为0 。这是因为卡尔曼滤波是一种线性高斯滤波器，它假设噪声是零均值的高斯白噪声，并且系统状态的转移和测量模型都是线性的。在实际应用中，通常可以通过对干扰的均值进行估计，然后进行补偿处理，从而使得干扰的期望值为零 。
由现代控制理论知识可知：
$$
\left{
\begin{aligned}
X_{k}&=AX_{k-1}+Bu_{k-1}+W_{k} \\
Z_{k}&=HX_{k}+V_{k}
\end{aligned}
\right.
$$
其中$A$ 是状态转移矩阵，$B$ 是输入矩阵，$H$ 是观测矩阵。
相比现控方程多考虑到噪声干扰。分为以下两个：
$W_{k}$ 过程噪声：符合正态分布，期望为0，协方差矩阵为${Q}$
$V_{k}$ 测量噪声：符合正态分布，期望为0，协方差矩阵为$R$
将模型考虑到卡尔曼滤波方程中：
$$\left\{
\begin{aligned}
\hat{X}_{k}^{-}&=A\hat{X}_{k-1}+Bu_{k} \\\
Z_{k}&=H\hat{X}_{k}
\end{aligned}
\right.$$
$\hat{X}_{k}^{-}$ 为先验估计：根据上一时刻的值估计当前时刻的值
注意到几个点：
对系统进行建模出现的噪声$W_{k}$ 和$V_{k}$ 不会直接出现，而是成为$Q_{k}$ 和$R_{k}$ 分别代表系统噪声协方差矩阵和观测噪声协方差矩阵
这里的$Z_{k}$ 成为了观测值（也就是实际计算中的一个输入）
后面的五大公式都是基于这个方程建立的
预测方程两个：
$$
\begin{aligned}
\hat{x}_{k}^{-}&=A\hat{x}_{k-1}+Bu_{k} \\\
P_{k}^{-}&=AP_{k-1}A^{T}+Q
\end{aligned}
$$
预测方程和系统的物理模型有关，根据物理模型推算下一时刻的状态和协方差
其中，$\hat{x}_{k}^{-}$ 是先验状态估计，$A$ 是状态转移矩阵，$\hat{x}_{k-1}$ 是后验状态估计，$B$ 是控制输入矩阵，$u_{k}$ 是控制输入向量，$P_{k}^{-}$ 是先验误差协方差矩阵，$Q$ 是系统噪声协方差矩阵。
更新方程三个：
卡尔曼增益计算方程：
$$
K_{k}=P_{k}^{-}H^{T}(HP_{k}^{-}H^{T}+R)^{-1}
$$
$K_{k}$ 是卡尔曼增益矩阵，$H$ 是观测矩阵，$R$ 是观测噪声协方差矩阵
先验误差协方差矩阵更新方程：
$$
P_{k}=(I-K_{k}H)P_{k}^{-}(I-K_{k}H)^{T}+K_{k}RK_{k}^{T}
$$
或者简化形式是（两者等价）：
$$
P_{k} = (I - K_k H) P_{k}^{-}
$$
状态量更新方程：
$$
\hat{x}_{k} = \hat{x}_{k}^{-} + K_k(z_k - H \hat{x}_{k}^{-})
$$
融合三轴加速度计和三轴角速度计
对三轴角速度计进行建模，构建两个预测方程
使用三轴加速度计进行观测
$$
\begin{aligned}
&
\begin{bmatrix} roll\_gyro_{k}^{-} \\ pitch\_gyro_{k}^{-} \\ yaw\_gyro_{k}^{-}\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} roll\_gyro_{k-1} \\ pitch\_gyro_{k-1}\\ yaw\_gyro_{k-1}\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix} {\Delta}t & 0 & 0 \\ 0 & {\Delta}t & 0 \\ 0 & 0 & {\Delta}t \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} gyro\_x \\ gyro\_y \\ gyro\_z \end{bmatrix} \\\
&
\begin{bmatrix} roll\_acc \\ pitch\_acc \\ yaw\_acc\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} roll\_esti_{k} \\ pitch\_esti_{k} \\ yaw\_esti_{k}\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
状态量为$\begin{bmatrix} roll\_gyro \\ pitch\_gyro\\ yaw\_gyro\end{bmatrix}$ ，含义直接为角度计算出来的姿态角（只和角速度有关）
状态转移矩阵为$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0& 1\end{bmatrix}$
输入直接是角速度
$Z_{k}$ 为为加速度计求得的姿态角
$\begin{bmatrix} roll\_esti_{k} \\ pitch\_esti_{k} \\ yaw\_esti_{k}\end{bmatrix}$ 为由状态量和观测量估计的值
$\hat{x}_{k}^{-}=A\hat{x}_{k-1}+Bu_{k}$ 对应的方程为：
$$
\begin{bmatrix} roll\_gyro_{k} \\ pitch\_gyro_{k}\\ yaw\_gyro_{k}\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} roll\_gyro_{k-1} \\ pitch\_gyro_{k-1}\\ yaw\_gyro_{k-1}\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix} {\Delta}t & 0 & 0 \\ 0 & {\Delta}t & 0\\ 0 & 0& {\Delta}t\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} gyro\_x \\ gyro\_y\\ gyro\_z \end{bmatrix}
$$
根据建模内容，可以知道：
$A$ 状态转移矩阵为$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0& 1\end{bmatrix} $，$B$=$\begin{bmatrix} {\Delta}t & 0 & 0 \\ 0 & {\Delta}t & 0\\ 0 & 0& {\Delta}t\end{bmatrix}$ ，其中${\Delta}t$ 为两次循环时间计算间隔
$\begin{bmatrix} gyro\_x \\ gyro\_y\\ gyro\_z \end{bmatrix}$ 为输入对应轴上的角速度，$\begin{bmatrix} roll\_gyro_{k} \\pitch\_gyro_{k}\\yaw\_gyro_{k}\end{bmatrix}$ 为由角速度计算出的状态量
$P_{k}^{-}=AP_{k-1}A^{T}+Q$ 对应的方程为：
$$
P_{k}^{-}=
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0& 1\end{bmatrix}
P_{k-1}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0& 1\end{bmatrix}
+
Q
$$
$K_{k}=P_{k}^{-}H^{T}(HP_{k}^{-}H^{T}+R)^{-1}$ 对应的方程为：
$$
\begin{aligned}
K_{k}&=P_{k}^{-}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 0\end{bmatrix}
(
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 0\end{bmatrix}
P_{k}^{-}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 0\end{bmatrix}+
R
)^{-1} \\\
&=P_{k}^{-}(P_{k}^{-}+R)^{-1}
\end{aligned}
$$
$P_{k} = (I - K_k H) P_{k}^{-}$ 对应的方程为：
$$
\begin{aligned}
P_{k} &= (
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 1\end{bmatrix}- K_k
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 0\end{bmatrix}
) P_{k}^{-}
\end{aligned}
$$
$\hat{x}_{k} = \hat{x}_{k}^{-} + K_k(z_k - H \hat{x}_{k}^{-})$ 对应的方程为：
$$
\hat{x}_{k} = \hat{x}_{k}^{-} + K_k(
\begin{bmatrix} roll\_acc \\ pitch\_acc\\ yaw\_acc\end{bmatrix}-
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0\end{bmatrix}
\hat{x}_{k}^{-})
$$
$Q=\begin{bmatrix} 0.002 & 0 & 0 \\ 0 & 0.002 & 0 \\ 0 & 0 & 0.002 \end{bmatrix}$
$R=\begin{bmatrix} 0.2 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2 \end{bmatrix}$
$P_{0}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
$x_{0}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$