yang-f / algorithm

Algorithm with python

笔记

• 运行时间:

  • 输入（举个例子：如果是有序的，时间会相应减少。最坏情况是相反排序。）
  • 输入规模
  • 运行时间上界（对用户的承诺。）

• 分析方式:

  • 最坏
    • T(n) = 最长时间
    • 计算机
    • 相对速度
  • 平均
    • T(n) = 期望时间（加权平均）
  • 最好
    • T(n) = 最短时间（假象）

• 算法大局观:

  • 渐进分析
  • 忽略依赖机器的常量
  • 不是实际的运行时间

• 解递归式的3种方法：

  • 代换法 猜答案、解出常数、用数学归纳法
  • 递归树法 把式子分解开，画成树的形状，持续展开，逐层求和
  • 主定理 T(n)=aT(n/b)+f(n),a>=1,b>1,f(n)渐进趋正 和n^logba比较
    • f(n) > n^logba: Θ(f(n))
    • f(n) = n^logba: Θ(n^logba*lgn)
    • f(n) < n^logba: Θ(n^logba)

• 分治法：

  • 分divide
  • 治conquer
  • 合combine

• 斐波那契数列:

  • 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和
  • Θ(lgn)

   ⎡f(n+1) f(n)⎤ = ⎡1 1⎤^n
   ⎣f(n) f(n-1)⎦   ⎣1 0⎦
  

• 斯特拉森矩阵乘法:

  • n*n 矩阵且 n 为2的整数次幂
  • Θ(n^lg7)

       a11 a12     b11 b12	 
   A = a21 a22 B = b21 b22
  

   x1 = (a11 + a22) * (b11 + b22);
   x2 = (a21 + a22) * b11;
   x3 = a11 * (b12 - b22);
   x4 = a22 * (b21 - b11);
   x5 = (a11 + a12) * b22;
   x6 = (a21 - a11) * (b11 + b12);
   x7 = (a12 - a22) * (b21 + b22);
  

   c11 = x1 + x4 - x5 + x7
   c12 = x3 + x5
   c21 = x2 + x4
   c22 = x1 + x3 - x2 + x6
  

       c11 c12
   C = c21 c22
  

• VLSI 布局：

  • T(n) = 2T(n/4) + Θ(1)
  • Θ(n^1/2)

• 快速排序：

  • 分治算法的一种
    • key
    • left < key
    • right >= key
  • 原地排序，节省内存
  • 很实用（微调一下）