leetcode 89. 格雷编码

[西了意]

题：

格雷编码是一个二进制数字系统，在该系统中，两个连续的数值仅有一个位数的差异。

给定一个代表编码总位数的非负整数 n，打印其格雷编码序列。格雷编码序列必须以 0 开头。

示例 1:

输入: 2
输出: [0,1,3,2]
解释:
00 - 0
01 - 1
11 - 3
10 - 2

对于给定的 n，其格雷编码序列并不唯一。
例如，[0,2,3,1] 也是一个有效的格雷编码序列。

00 - 0
10 - 2
11 - 3
01 - 1

示例 2:

输入: 0
输出: [0]
解释: 我们定义格雷编码序列必须以 0 开头。
  给定编码总位数为 n 的格雷编码序列，其长度为 2n。当 n = 0 时，长度为 20 = 1。
  因此，当 n = 0 时，其格雷编码序列为 [0]。

来源：力扣（LeetCode）
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解：leetcode 将此题标记为回溯，这件事甚至比这道题还更有意思一些。

在感觉上，此题回溯的味道着实轻微，在很多人（包括我自己）的感觉里，反倒是有更多「动态规划」或者「数学」或者「位计算」的味道。

抛却数学和位计算不讲，让我们来仔细拆解一下，到底是回溯还是动态规划。

经过一番思考，我同意了 leetcode 的观点：此题如果不使用数学解法，就是一个回溯问题。

甚至于，它是一个特别纯粹的回溯问题。

我们知道，回溯算法有三个关键点：

• 暴力递归枚举
• 尽可能的剪枝
• 回退之前恢复现场

对于本题呢？没有了剪枝和回退之前的恢复现场，只剩下暴力递归枚举。那你说，这还算不算回溯呢？

动态规划的关键是状态转移方程，且这个状态转移方程能有效降低问题复杂度。

此题可以认为有一个状态转移方程，但对复杂度的降低没起到任何帮助。

// 只剩下了暴力递归枚举的回溯算法
var grayCode = function(n) {

  const res = Array(1 << n)
  res[0] = 0

  function backtrack(i = 0) {
    // 递归终止
    if (i === n) return

    // 在已有答案的基础上枚举所有答案（没有任何有效剪枝）
    const before = res.slice(0, 1 << i)
    let idx = 0

    // 原来的一个答案左移一位，追加 0 或 1 变成两个
    // 追加 0 或 1 的先后次序有一定技巧
    for (let [j, e] of before.entries()) {
      e <<= 1
      res[idx++] = e + j % 2
      res[idx++] = e + (j + 1) % 2
    }

    // 继续暴力递归枚举
    backtrack(i + 1)
  }

  backtrack()
  return res
};

// 数学规律直接求解
var grayCode = function(n) {
  /**
  关键是搞清楚格雷编码的生成过程, G(i) = i ^ (i/2);
  如 n = 3: 
  G(0) = 000, 
  G(1) = 1 ^ 0 = 001 ^ 000 = 001
  G(2) = 2 ^ 1 = 010 ^ 001 = 011 
  G(3) = 3 ^ 1 = 011 ^ 001 = 010
  G(4) = 4 ^ 2 = 100 ^ 010 = 110
  G(5) = 5 ^ 2 = 101 ^ 010 = 111
  G(6) = 6 ^ 3 = 110 ^ 011 = 101
  G(7) = 7 ^ 3 = 111 ^ 011 = 100
  **/
  const res = Array(1 << n)
  for (let i = 0; i < res.length; i++) 
    res[i] = i ^ i >> 1
  return res
}