Дано уравнение f(x) = 0. Найти один корень этого уравнения с точностью ε = 0.5 · 10−5 ,используя разные методы отыскания корня.
Методы решения:
- метод половинного деления;
- метод Ньютона;
- модифицированный метод Ньютона;
- метод хорд;
- метод подвижных хорд;
- метод простой итерации.
В отчете:
- обосновать выбор отрезка [a, b];
- в методах 2 – 5 обосновать выбор начальной точки;
- в методе 6 обосновать выбор функции φ(x) и доказать сходимость метода;
- сравнить скорости сходимости предложенных методов.
Мой вариант: 20
Моя функция: f(x) = sin(x) + 0.2 − 2x^2
Отчет:
Функция: sin(x) + 0.5 - 2x * x
Старт: 0.6, Конец: 0.65. Погрешность: 5e-7
1. Метод половиного деления
Решение: 0.6272708892822266, Итераций: 17
2. Метод Ньютона
Решение: 0.62727079106085, Итераций: 5
3. Модифицированный метод Ньютона
Решение: 0.6272707983540341, Итераций: 6
4. Метод хорд
Решение: 0.6272707892775534, Итераций: 7
5. Метод подвижных хорд
Решение: 0.6272707910598836, Итераций: 6
6. Метод простой итерации
Решение: 0.62727079106085, Итераций: 5
- обосновать выбор отрезка [a, b]:
Был выбран отрезок 0.6 - 0.65 графическим методом (нарисовал через Desmos)
Проверим: f(left)*f(right) < 0 = -0.001777377322689592 < 0
- в методах 2 – 5 обосновать выбор начальной точки;
Выбор нужного конца отрезка (или начальной точки) основывается на формуле: f(x)*f''(x) > 0. Если это выполняется, то выбирается этот конец отрезка.
Была выбрана точка B (0.65) т.к f * f'' = 0.13515973104380263 > 0
- в методе 6 обосновать выбор функции φ(x) и доказать сходимость метода;
Обоснование выбора Phi можно подсмотреть на картинке
- сравнить скорости сходимости предложенных методов.
Из выкладок видно, что быстрее всего к решению сходится метод простой итерации и метод Ньютона. Хотя справедливости ради, стоит заметить, что в данном конкретном случае, благодаря выбору функции Phi как x - f/f'(x) метод простой итерации эквивалентен методу ньютона
PS Я так сделал не специально :(
В то время как метод половинного деления сходится медленнее всего
- Node >= 12
node index.js