Курс математической логики, КТ, весна 2018
Материалы
Лекция 1
Введение издалека: общая топология
- Определения и примеры
- Связность
Где почитать
- Глава 2 из конспекта
- Виро О.Я., Иванов О.А., Нецветаев Н.Ю., Харламов В.М., Элементарная топология
Лекция 2
Исчисление высказываний
- Язык исчисления высказываний
- Общезначимость
- Выводимость
- Теорема о дедукции
Где почитать
- Главы 3-4 из конспекта
Разбор домашнего задания №1
Лекция 3
Исчисление высказываний: теоремы
- Теорема о дедукции
- Теорема о корректности
- Теорема о полноте
Интуиционистское исчисление высказываний: введение
- BHK-интерпретация логических связок
- Теоретико-множественная интерпретация логических связок
- Формализация интуиционистской логики: варианты 10 аксиомы.
- Топологическая интерпретация логических связок
Где почитать
- В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 (http://lpcs.math.msu.su/~plisko/intlog.pdf)
Лекция 4
Интуиционистское исчисление высказываний
- Ещё раз о философии, мотивация определений
- Теорема Гливенко (формулировка)
- Решётки: общее определение, дистрибутивная, импликативная
Где почитать
- В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 (http://lpcs.math.msu.su/~plisko/intlog.pdf)
Лекция 5
Модели интуиционистского исчисления высказываний
- Алгебры Гейтинга и Булевы алгебры
- Алгебра Линденбаума
- Полнота Алгебр Гейтинга как моделей ИИВ
Где почитать
- В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 (http://lpcs.math.msu.su/~plisko/intlog.pdf)
Лекция 6
Качественные свойства ИИВ
- Модели Крипке
- Модель Крипке есть алгебра Гейтинга
- Нетабличность ИИВ
- Гёделевы алгебры
- Гёделевизация алгебры Линденбаума
- Гомоморфизм алгебр Гейтинга
Где почитать
- В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 (http://lpcs.math.msu.su/~plisko/intlog.pdf)
Лекция 7
Дизъюнктивность ИИВ и исчисление предикатов
- Дизъюнктивность ИИВ (⊢α∨β влечёт ⊢α или ⊢β)
- Язык исчисления предикатов
Лекция 8
Исчисление предикатов
- Структуры и модели в ИП, предметное множество
- Свободные и связанные вхождения, свобода для подстановки
- Аксиомы и правила вывода в ИП
- Теорема о дедукции
- Теорема о корректности ИП (начало)
Где почитать
- Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf
Лекция 9
Исчисление предикатов (2)
- Теорема о корректности ИП
- Непротиворечивое множество замкнутых формул / замкнутых бескванторных формул
- Модель для непротиворечивого множества з.ф. / з.б.ф.
- Следствие в ИП
- Теорема Гёделя о полноте ИП (формулировка)
Где почитать
- Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf
Лекция 10
Формальная арифметика и рекурсивные функции
- Аксиоматика Пеано
- Теория 1 порядка
- Формальная арифметика
- Примитивно-рекурсивные функции
Где почтитать
- Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Вычислимые функции. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf
- Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М. "Наука", 1971
- П.Дж. Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. М. "Мир", 1969
Лекция 11
Представимость функций в формальной арифметике
- Минимизация. Рекурсивные функции.
- Бета-функция Гёделя.
- Представимость рекурсивных функций в формальной арифметике.
Где почтитать
- Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Вычислимые функции. https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf
- Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М. "Наука", 1971
- П.Дж. Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. М. "Мир", 1969
Лекция 12
Гёделева нумерация, арифметизация математики, рекурсивность представимых в формальной арифметике функций
- Гёделева нумерация.
- Любая представимая в формальной арифметике функция рекурсивна.
- Формулировка и идея доказательства первой теоремы Гёделя о неполноте арифметики.
Где почтитать
- Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М. "Наука", 1971
Лекция 13
Теоремы Гёделя о неполноте арифметики
- Первая теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики (с доказательством).
- Первая теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики в форме Россера.
- Условия выводимости Гильберта-Бернайса-Лёба.
- Вторая теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики (с кратким изложением доказательства).
Где почтитать
- Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М. "Наука", 1971
Лекция 14
Теория множеств
- Мотивация создания теории множеств.
- Краткое изложение аксиоматики Цермело-Френкеля.