IshiiSan_Relativity_Egison

『一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する』読書ノート

変更履歴

19/06/11 一休み中
19/05/05 「第3章テンソルと直線座標のテンソル場」
「第4章特殊相対性理論」読書中
19/04/13 「第2章物理の準備」読書中
19/04/04 「第1章数学の準備」読書中

ゴール

法則7.10 アインシュタインの重力場方程式
G_i_j = (8πG/c^4)T_i_j
を理解（導出？）する

Egison

Egisonで計算しながら読書を進める。
Egisonは数式処理ができる。また、テンソルも扱える。

Jupyter良いかも

分数とか行列とかをきれいに表示してくれる。
入れ方は公式を参照してください。
「Jupyter's CodeMirror directory」とは、> jupyter notebookを叩くフォルダです。
Windowsだと動かなかった。Linux(VirtualBox使用)で動いた。
この辺が原因らしい。https://qiita.com/shita_fontaine/items/c2ceb1e66450d7e09490

第1章数学の準備

1 ベクトル積

2 微分の公式

3 3次元の座標変換

4 スカラー場、ベクトル場のイメージ

5 勾配

6 発散

7 回転

8 勾配、発散、回転の公式

Egisonで
公式1.21「rot grad f(x) = 0」
公式1.22「div rot A(x) = 0」
を計算した。

> (load "sample\\math\\geometry\\vector-analysis.egi")
> (rot (grad f))
[| [| 0 0 0 |] [| 0 0 0 |] [| 0 0 0 |] |]
> (div (rot A))
0

9 ポテンシャル

10 スカラー場の線積分

11 ベクトル場の線積分

12 曲面の面積

13 ベクトル場の面積分

14 逆2乗法則についての計算

15 波動方程式

16 ポアソン方程式

17 変分法

18 アインシュタインの縮約記法

第2章物理の準備

1 ニュートンの重力場方程式

2 応力テンソル

う～ん……
応力テンソルは、連続体内部に定義した微小面積に作用する
単位面積あたりの力で定義される。（Wikipediaより）
応力テンソルは、3次元デカルト座標の下では、3*3行列で表される。

3 流体の基礎方程式

4 クーロンの法則の書き換え

クーロンの法則
アンペールの法則
ファラデーの法則
- ローレンツ力

を、マックスウェルの方程式にまとめる。
divE(x, t) = ρ(x, t)/ε_0
rotE(x, t) + ∂B(x, t)/∂t = 0
divB(x, t) = 0
rotB(x, t) - ε_0 * μ_0 * ∂E(x, t)/∂t = μ_0 * i

5 静電場のエネルギー

6 アンペールの法則の書き換え

7 ファラデーの電磁誘導の法則の書き換え

ローレンツ力は、動いている電荷に対して垂直な方向に力がかかります。
それでは、動いている電荷と同じ速度を持つ観測者からは、どう見えるでしょうか？
同じ速度を持っている観測者にとって、電荷は静止しているように見えます。
ですから、観測者が同じ物理法則を適用するとすれば、
ローレンツ力は生じないはずです。これは矛盾です。
あとで見るように特殊相対論は、この矛盾をクリアに解決してくれます。

8 電磁波

9 静磁場エネルギー

10 マックスウェルの応力テンソル

11 マックスウェルの方程式をポテンシャルで書き換え

第3章テンソルと直線座標のテンソル場

さっぱりだ～
後から戻ってくる感じかな

第4章特殊相対性理論

・ローレンツ変換をやる
・ミンコフスキー空間をやる
・力学をやる
・電磁場をやる

1 方程式の共変性

2 特殊相対論の課題

3 ローレンツ変換とダランベルシアン

4 ローレンツ変換の導出

5 ローレンツ収縮の対等性

6 一般の速度のローレンツ変換

7 ミンコフスキー空間

8 速度・加速度の変換則

9 速度の4元化

10 固有時

11 4元加速度、4元力

12 力学的なエネルギー・**量テンソル

13 マックスウェルの方程式の4元化

14 ローレンツ力の共変性

慣性系S'がSに対してx方向に速度Vで動いているとし（電荷も）、 Sではz軸方向に磁場Bがあり、電場はないものとします。
このとき、S'に対して静止している電荷q（>0）は、
S、S'から見てどのように見えるでしょうか。

Sから見ると、F_x = 0、F_y = -qVB、F_z = 0 です。

S'の電磁場で、B_zが出てくる成分は、
E'_y = -γVB、 B'_z = γB です。

電荷に働く力F'をS'で見ると、F' = q(E' + 0 × B') なので、
F'_x = 0、 F'_y = -γqVB、 F'_z = 0
となります。