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我在学习使用Google开发的深度学习框架Tensorflow时遇到了一个问题：入门教程中构建了一个卷积神经网络（CNN），训练并使用这个卷积神经网络识别手写数字（mnist数据库）。原版要求迭代20000次，并指出最终的预测准确度可以达到99.2%。但是我在实践中发现，对于我所使用的这台笔记本，很难达到这样高的迭代次数。最终，我将迭代次数降至1000次，并得到了96.1%的准确度，而且耗时将近4分钟。那么，我预计迭代20000次用时可能会超过1小时。
于是，在这样的前提下，我萌生了对mnist中的数据进行降维的想法。mnist中的手写数字图片为28x28的灰度图，一维展开后即一个大小为784的向量。我准备将这个向量的大小降至100（10x10）
sklearn模块中的PCA方法
2DPCA(手动实现)
卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）是一种前馈神经网络，其人工神经元可以响应一部分覆盖范围内的周围单元，对于图像处理有着出色的表现。这里我们将其运用在手写数字（mnist库）识别上。
卷积神经网路由一个或多个卷积层和顶端的全连通层（对应经典的神经网路）组成，同时也包括关联权重和池化层（pooling layer）。这一结构使得卷积神经网路能够利用输入数据的二维结构。
其中，卷积层（Convolutional layer），卷积神经网络中每层卷积层由若干卷积单元组成，每个卷积单元的参数都是通过反向传播算法最佳化得到的。卷积运算的目的是提取输入的不同特征，第一层卷积层可能只能提取一些低级的特征如边缘、线条和角等层级，更多层的网路能从低级特征中迭代提取更复杂的特征。
而池化层（Pooling）是卷积神经网络中另一个重要的概念，它实际上是一种形式的向下采样。有多种不同形式的非线性池化函数，而其中“最大池化（Max pooling）”是最为常见的。它是将输入的图像划分为若干个矩形区域，对每个子区域输出最大值。直觉上，这种机制能够有效地原因在于，在发现一个特征之后，它的精确位置远不及它和其他特征的相对位置的关系重要。池化层会不断地减小数据的空间大小，因此参数的数量和计算量也会下降，这在一定程度上也控制了过拟合。通常来说，CNN的卷积层之间都会周期性地插入池化层。池化层通常会分别作用于每个输入的特征并减小其大小。
PCA是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法。其结果可以理解为对原数据中的方差做出解释：哪一个方向上的数据值对方差的影响最大？换而言之，PCA提供了一种降低数据维度的有效办法；如果分析者在原数据中除掉最小的特征值所对应的成分，那么所得的低维度数据必定是最优化的（也即，这样降低维度必定是失去讯息最少的方法）。
PCA是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法。通常情况下，这种运算可以被看作是揭露数据的内部结构，从而更好的解释数据的变量的方法。如果一个多元数据集能够在一个高维数据空间坐标系中被显现出来，那么PCA就能够提供一幅比较低维度的图像，这幅图像即为在讯息最多的点上原对象的一个‘投影’。这样就可以利用少量的主成分使得数据的维度降低了。
2DPCA的原理与PCA相似，只不过它采用的是原始图像矩阵，直接构建协方差矩阵，不需要将图像矩阵展开为一维再进行计算，所以能够最大限度地保留图像内部的关系。
我在Google提供的数据载入的代码input_data.py中插入了降维的函数，并且在具体使用的过程中，通过使用者不同的命令，既可以返回降维后的数据，也可以提供原始的数据。
from sklearn.decomposition import PCA
pca = None
...
# Convert shape from [num examples, rows, columns, depth]
# to [num examples, rows*columns] (assuming depth == 1)
assert images.shape[3] == 1
images = images.reshape(images.shape[0], images.shape[1], images.shape[2])
global pca
if pca is None: # 训练PCA模型
pca = PCA(n_components=100)
images = pca.fit_transform(images)
else:
images = pca.transform(images)在input_data.py中，训练数据和测试数据都被读入并放在两个DataSet类中，所以我将PCA的模型在类外进行声明，使用训练数据进行训练，并将训练数据转化为降维后的数据，之后再将测试数据用相同的PCA模型进行降维。使用同一个PCA模型非常重要，这里的梯度下降方法为小批量随机梯度下降，我之前错误地在每一次生成小批量数据时，都使用一个全新的PCA模型进行降维，并且最后的测试数据也使用了全新的PCA模型进行降维。在这种情况下，识别效果非常差，准确率不足30%。
最终，我了解到PCA作为一种处理方式，在处理时会尽量多地保留信息，所以在不同的数据（比如每一批mnist训练集的数据）都会采用不同的保留方式。换句话说，为了尽可能多地保留信息，这种做法破坏了每一批数据之间的关联性（或者说，公共特征），每次提取到的特征不同，自然无法形成高效的学习模型。
进行降维时，由于不可避免地丢失了数据的一部分特征，所以在同等迭代次数的情况下，使用降维后的数据的识别准确率是远不如原始数据的。下面展示运行效果。图中第一行为在测试集上的识别准确率，第二行为消耗时间（单位：s）
(图1，未使用降维的数据，迭代1000次)
(图2，使用PCA降维后的数据，迭代1000次)
从上面两张图可以看到，降维后的运行速度虽然大大提升，但是识别准确率严重下滑。
(图3，使用PCA降维后的数据，迭代7000次)
可以看出，在使用时间几乎相等的情况，PCA降维后的识别准确率还是略有不如原始状态下的识别准确率。
最终迭代20000次的结果为
(图4， 使用PCA降维后的数据，迭代20000次)
最后，我还对不使用卷积神经网络的情况下的学习使用了PCA，即对softmax方法使用PCA。softmax是一种类似于逻辑回归的学习方法，只不过经过了许多优化。
(图5，softmax使用原始数据进行学习，迭代1000次)
(图6，softmax使用降维后的数据进行学习，迭代1000次)
有些令人惊讶的是，使用降维后的数据学习的识别准确率甚至略高于不使用的，但我认为这只是因为在随机初始化权值时的偶然造成的。事实上我运行了很多次两种方法，它们得到的结果（识别准确率）相差寥寥无几，并且不存在一种方法一直比另一种高的情况。这大概是因为softmax方法并没有发掘出原始数据里面一些深层次的信息，以至于即使这些信息随着降维丢失了，也对结果没有什么影响。
由于没有现成的Python包能够实现2DPCA，所以需要对其手动进行编程。一般而言，在成熟的包(如sklearn)中的方法都会进行大量的优化，比一般程序员亲手写出的程序效率略高，不过这个影响不会太大，这里就不纳入考虑了。
def PCA2D_2D(samples, row_top, col_top):
'''samples are 2d matrices'''
size = samples[0].shape
# m*n matrix
mean = np.zeros(size)
for s in samples:
mean = mean + s
# get the mean of all samples
mean /= float(len(samples))
# n*n matrix
cov_row = np.zeros((size[1],size[1]))
for s in samples:
diff = s - mean
cov_row = cov_row + np.dot(diff.T, diff)
cov_row /= float(len(samples))
row_eval, row_evec = np.linalg.eig(cov_row)
# select the top t evals
sorted_index = np.argsort(row_eval)
# using slice operation to reverse
X = row_evec[:,sorted_index[:-row_top-1 : -1]]
# m*m matrix
cov_col = np.zeros((size[0], size[0]))
for s in samples:
diff = s - mean
cov_col += np.dot(diff,diff.T)
cov_col /= float(len(samples))
col_eval, col_evec = np.linalg.eig(cov_col)
sorted_index = np.argsort(col_eval)
Z = col_evec[:,sorted_index[:-col_top-1 : -1]]
return X, Z代码来自网上，使用十分简单：函数的第一个参数是要进行2DPCA的数据，格式为[size, row, column]；第二个参数是降维后的row的值，第三个参数是降维后的column的值。由于我们要降维的图形大小为28*28，所以这里指定row和column的值都为10就可以了。
最终，2DPCA的效果十分优秀，在相同迭代次数的前提下，识别准确率要比PCA高上许多。这是因为，在很大程度上，2DPCA保留了更多图片中深藏的内部联系。
总的来说，对图片运用2DPCA，是比使用PCA更好的一种方法。最主要的一点是，在几乎相同的运行时间下，使用经过2DPCA处理的数据训练出来的模型，比使用原版数据训练出来的模型，识别准确率还要略高一些，当然这也有可能是正常的波动，但这足以说明2DPCA在处理图片降维时，效果比PCA优秀许多。
(图7，使用2DPCA降维后的数据，迭代1000次)
可以看出，在迭代次数较少的情况下，2DPCA的效果远优于PCA。
(图8，使用2DPCA降维后的数据，迭代7000次)
(图9， 使用2DPCA降维后的数据，迭代20000次)
可以看到，随着迭代次数的增加，PCA和2DPCA的识别准确率都在提升，并且差距在缩小，但是最终还是2DPCA更加准确。
最后，2DPCA应用在softmax模型上的结果：
经过多次试验，我发现2DPCA在softmax模型上的效果远不如PCA，不得不说这是一个很有趣的发现。具体原因我暂时还无法解释，但是大概可以说：2DPCA与softmax模型有些“相性不合”。
为了更好地对比两种降维方法和原始数据的识别情况，这里总结了一个表格进行说明：
| 迭代次数\处理方式 | 原始数据 | PCA | 2DPCA |
|---|---|---|---|
| 1000 | %96.12/234s | %87.21/34s | %91.38/34s |
| 7000 | -/- | %95.04/230s | %96.90/225s |
| 20000 | %99.2*/约4680s** | %96.86/651s | %97.87/636s |
* 根据网上提供数据所得
** 由迭代1000次的数据计算所得
抛开PCA本身存在的导致特征丢失的缺点不谈，我认为还是有些方法能使使用降维后的数据识别准确率上升的。
- 我认为PCA提取数据特征时应当考虑到整个数据集，也就是包括训练集和测试集的所有数据，因为这样才能提取到最准确的主特征。
- 一般而言，保留的原始信息越多，识别准确率越高。我在这里将784维的数据降低至100维，减少将近7/8，这完全是为了追求运行速度。事实上将纬度调整至225（15x15）或者400（20x20）可能会有更好的结果。最终我们还是要追求一种速度与准确率的平衡。