matheus-ft / least-squares

Exploring methods to solve a systems of linear equations and least squares problems

MS512-P1

(a) Cholesky

linear_sys.m

Essa função resolve um sistema Ax = b usando a decomposição de Cholesky. Ela recebe uma matriz simétrica A e o vetor resposta b, performa a decomposição (implementada em cholesky.m) e retorna uma solução x após resolver dois sistemas triangulares.

cholesky.m

Essa função recebe uma matriz simétrica A e retorna o fator de Cholesky R, caso A seja positiva-definida; caso contrário, retorna um erro.

backward_subs.m

Função implementada para resolver sistemas lineares com matrizes triangulares superiores. Útil para item (b) também.

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(b) Quadrados Mínimos

main.m

Função que deve ser rodada para gerar os resultados apresentados no relatório. Parâmetros:

• method: string (indiferente a maiuscula ou minuscula) indicando o método de solução do problema de quadrados mínimos

• "QR" indica que será utilizado o algoritmo em LS_QR.m

• "Cholesky" ou "chol" indica que será utilizado o algoritmo em LS_cholesky.m

• file: string com o nome completo do arquivo que contém os dados para serem ajustados (dados capturados por grab_data.m)

LS_QR.m

Funcao que calcula a solução de quadrados mínimos x (e seu resíduo r) do problema Ax = b. Recebe a matriz A e o vetor b, performa a decomposição QR do Octave em A e soluciona o sistema linear Rx = Q'b com backward_subs.m - sendo A = QR e R triangular superior (quadrada após ignorar as linhas de zeros).

LS_cholesky.m

Funcao que calcula a solução de quadrados mínimos x (e seu resíduo r) do problema Ax = b. Recebe a matriz A e o vetor b e resolve as equações normais dadas por A'Ax = A'b com linear_sys.m, o qual, por sua vez, aplica a decomposição de Cholesky do item anterior para solucionar o sistema linear.