《数学分析》，史怀济，**科学大学，视频：共220讲，B站视频链接
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1. 非负整数
方法一（反证法、韦达跳跃）：
令 $$ k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} $$
- 假设存在一个或更多不是完全平方数的解
$k$ 。 - 对特定
$k$ ，$(x, y) = (A,B)$ 是方程$x^2 + y^2 - mxy = 0$ 正整数解对。 - 由于
$x^2 + y^2 - mxy - m = 0$ 是关于 x,y 对称的方程，先设$A \ge B$ 。 - 再设原整数方程关于
$A$ 的二次方程，即为：$x^2 + b_1^2 - kBx- m = 0$，$x = A$ 是其中一个正整数根。利用韦达定理，可将另一根表示成$x_2 = kB - A$或是$x_2 = \frac{B^2 – k}{A}$。 - 从
$x_2$ 的第一个表示式可得$x_2$为整数，第二个表示式可得$x_2 \neq 0$，因为$k$不是完全平方数。进一步，从$\frac{x_2^2 + b^2}{x_2B+1}=k>0$可得$x_2$为正整数。 - 最后，从$A>B$可推出$x_2=\frac{B^2-k}{A}<A$，所以$x_2 + B < A + B$，与$A + B$为最小矛盾。
方法二（无穷递降法）：
令
- 当
$a = b$ 时，
-
$k = \frac{2a^2}{a^2 + 1} = (2 - k)a^2 > 0$ ，即：$2 - k > 0, k \in (0, 2)$ ，因为$k$是整数，那么$k = 1$
- 当
$a \neq b$ ，设$a > b$ ，则
$k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} > \frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} > 1$ - 根据题目条件，得到$a^2 - bka + b^2 - k = 0$, 且该方程必有正整数根
$a$ 。设另一根为$a_1$ 。得到$a^2 - bka + b^2 - k = 0, \tag{1}$ $a_1^2 - bka_1 + b^2 - k = 0, \tag{2}$
-
$(1), (2)$ 两式相减及相加（其实这是韦达定理），可以得到$a + a_1 = bk, \tag{3}$ $b^2 - k = a a_1, \tag{4}$ - 根据题目定义，$b, k$ 是整数，所以
$a_1$ 是整数。
- 接着证明
$a_1$ 的正负性：- 设
$a_1 \leq -1$ , 则$(a_1^2 + b^2) = k(a_1b + 1) \leq k(-b + 1) \leq 0$ 不成立，所以$a_1 \ge 0$ 。 - 所以
$0 \leq a_1 = \frac{b^2 - k}{a} < \frac{b^2}{a} < b < a$ - 如果
$a_1 = 0$ ，那么$k$为平方数，所以只用讨论$0 < a_1 < b < a$ 的情况
- 设
- 对
$k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ 重复上面的推理，可知存在整数$b_1$满足$b > a_1 > b_1 \ge 0$ ，使得$k = \frac{a_1^2 + b_1^2}{a_1b_1 + 1}$ - 这样回到了原来的情况，不过这时有
$a > b > a_1 > b_1$ - 上述过程可以无限循环，最后必然有一个
$a_i = 0$ 或$b_i = 0$ 。不论任何情况，$k$都是一个平方数。
2.若$a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$，$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$，证明Tchebycheff不等式： $$ \sum_{i=1}^n a_i \sum_{i=1}^n b_i \leq n\sum_{i=1}^n a_i b_i $$
证明：
由排序不等式可知，最大的和为顺序和：$a_1b_1+ \cdots + a_nb_n$
因此有：
$a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n = a_1b_1+ a_2b_2+ \cdots + a_nb_n$ $a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n \ge a_1b_2 + a_2b_3 + \cdots + a_nb_1$ $a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n = a_1b_3 + a_2b_4 + \cdots + a_nb_2$ $\vdots$ $a_1b_1+ a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \ge a_1b_n + a_2b_1 + \cdots + a_nb_{n-1}$
将这$n$个不等式分边相加，同时对右边进行因式分解，便得到：
例四里用到 几何平均-算术平均不等式:
练习题 1.3 第3、4、5题
练习题 1.4 第3题
练习题 1.5 第1题
对于
是单调递增数列，并且有上界。
证明用到二项式定理有： $$ e_n = 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} $$
自然对数
基本列的定义：设${a_n}$是一列实数列。对任意给定的$\epsilon>0$，若存在$N\in N^$，使得当$m, n\in N^$且$m,n>N$时，有
数列收敛的充分必要条件是，数列是基本列。
引理：从任一数列中必可取出一个单调子列。
定理 Bolzano-Weierstrass定理：从任何有界的数列中必可选出一个收敛的子列。
定理：一个数列收敛的充分必要条件是它是基本列。
定义1.8.1：设$E$为一非空的有上界的集合，实数$\beta$满足一下两个条件：
- 对任何$x \in E$，有$x \leq \beta$；
- 对任意给定的$\epsilon >0$，必可找到一个$x_\epsilon \in E$，使得$x_\epsilon > \beta - \epsilon$
这时，称$\beta$为集合$E$的上确界，记作$\beta = \mathbb{sup} E$。
定义1.8.2：设$E$为一非空的有上界的集合，实数$\alpha$满足一下两个条件：
- 对任何$x \in E$，有$x \geq \alpha$；
- 对任意给定的$\epsilon >0$，必可找到一个$y\epsilon \in E$，使得$x\epsilon < \alpha + \epsilon$
这时，称$\alpha$为集合$E$的下确界，记作$\alpha = \mathbb{inf} E$。
定理1.8.1：非空的有上界的集合必有上确界；非空的有下界的集合必有下确界。
定义1.9.1：如果$A$是实数集，$\mathscr{J}=\left{I_{\lambda}\right}$是一个开区间族，其中$\lambda \in \Lambda$，这里的$\Lambda$称为指标集。如果 $$ A \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} I_{\lambda} $$ 称开区间族${ I_\lambda }$是$A$的一个开覆盖，或者说${I_\lambda}$盖住了$A$。
定理1.9.1（紧致性定理）：设$[a, b]$是一个有限闭区间，并且它有一个开覆盖${ I_\lambda }$，那么从这个开区间族中必可选取有限个成员（开区间）来，这有限个开区间所成的族任事$[a, b]$的开覆盖。也称为有限覆盖定理、Heine-Borel定理。
定义1.10.1：设${a_n}$是一个数列，$E$是由${a_n}$的全部极限点构成的集合。记
$$
a^{\space*}=\sup E, \quad a_{\space*}=\inf E
$$
-
$a^* \in E$ ； - 若$x > a^$，则存在$N \in N^$，使得当$n \geq N$时，有$a_n < x$；
-
$a^*$ 是满足前两条性质的唯一数。
定理1.10.2：设${a_n}$，${b_n}$是两个数列：
- $\liminf {n \rightarrow \infty} a{n} \leq\limsup {n \rightarrow \infty} a{n}$；
-
$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 当且仅当$\liminf {n \rightarrow \infty} a{n} = \limsup {n \rightarrow \infty} a{n} = a$； - 若$N$是某个正整数，当$n>N$时，$a_n \leq b_n$，那么
$$ \liminf {n \rightarrow \infty} a{n} \leq\liminf {n \rightarrow \infty} b{n}, \quad \limsup {n \rightarrow \infty} a{n} \leq\limsup {n \rightarrow \infty} b{n} $$
定理1.10.3：对于数列${a_n}$，定义$\alpha_n=\inf_{k\geq n}a_k$,
-
${\alpha_n}$ 是递增数列，${\beta_n}$是递减数列； - $\lim_{n\rightarrow \infty}\alpha_n = a_$, $\lim_{n\rightarrow \infty}\beta_n = a^$。
定理1.11.1
定义 2.1.1：设$A, B$s是两个集合，如果$f$是一种规律，使得对$A$中的每一个元素$x$，$B$中唯一确定的元素——记作$f(x)$——与$x$对应，则称$f$是一个$A$到$B$的映射，用 $$ f: A \rightarrow B $$ 来表示。集合$A$叫作映射$f$的定义域；$f(x) \in B$叫作$x$在映射$f$之下的像或$f$在$x$的值。
定义2.1.2：相等：设$f: A \rightarrow B$，且$g: A \rightarrow B$。如果对任何$x \in A$，均有$f(x) = g(x)$，则称映射$f$与$g$相等，记为$f=g$。
定义2.1.3：满射：设$f: A \rightarrow B$，如果$f(a)=B$，则称$f$是从$A$到$B$上的满射，也就是说，$B$中的任何元素都是$A$中某一元素在$f$之下的像。
定义2.1.4：单射：设$f: A \rightarrow B$，如果当$x, y \in A$，且$x \neq y$时，有$f(x) \neq f(y)$，则称$f$为单射。
定义2.1.5：一对一：设$f: A \rightarrow B$，既是单射又是满射，则称映射$f$是一对一的，这时，也说$f$在集合$A$与$B$之间建立一个一一对应。
逆映射：$f^{-1} : B \rightarrow A$，其规律是：如果$y=f(x)$，则$f^{-1}(y)=x$。
定义2.1.6：设$f : A \rightarrow B, f \subset B$，则$A$的子集 $$ f^{-1}(F) = {x \in A: f(x) \in F} $$ 叫做$F$的原像。
定义2.1.7：设映射$f : B \rightarrow C$，映射$g$的定义域为$A$。当$x \in A_1=g^{-1}(B)$时，定义映射 $$ f \circ g(x) = f(g(x)) $$ 显然，$f \circ g : A_1 \rightarrow C$，称为映射$f$和$g$的复合。
设$A$与$B$两个集合，如果存在一个从$A$到$B$的一对一映射，称集合$A$与$B$有相同的“势”或有相同的“基数”，称$A$与$B$等价。用$A \sim B$表示。这种关系具有以下性质：
- 自反性：$A \sim A$
- 对成性：$A \sim B$且$B \sim A$
- 传递性：若$A \sim B$且$B \sim C$，则$A \sim C$
定义2.2.1：令$N^*$为正整数的全体，且
- 有限集：如果存在一个正整数$n$，使得集合$A \sim N_{n}$，那么$A$叫做有限集。
- 无限集：如果集合$A$不是有限集，则称$A$为无限集。
- 可数集：若$A \sim N_{n}$，则称$A$为可数集。
- 不可数集：若$A$既不是有限集，也不是可数集，则称$A$为不可数集。
- 至多可数：若$A$是有限集或者$A$是可数集，则称$A$是至多可数的。
定理2.2.1：可数集$A$的每一个无限子集是可数集。
定理2.2.3：$\mathbb{R}$中的全体有理数是可数的。
定理2.2.4：$[0, 1]$上的全体实数是不可数的。
函数是一类特殊的映射，如果对映射$f: X \rightarrow Y$，$X$与$Y$都是由实数组成，则$f$称为一个函数。
分段函数：由多个公式联合起来表示的函数
函数的和：设$f$和$g$是两个函数，定义域分别为$A$和$B$，那么在$A \cap B$上，$f+g$称作$f$与$g$的和，写作： $$ (f+g)(x)=f(x)+g(x), x \in A \cap B $$ 类似的，可以定义$f$与$g$的差、积、商： $$ \begin{array}{c}{(f-g)(x)=f(x)-g(x)} \ {\quad(f g)(x)=f(x) g(x)} \ {\quad\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}}\end{array} $$ 反函数：设函数$f$在$X$与$Y$之间建立了一个一一对应，那么有逆映射$f^{-1}: Y \rightarrow X$，称$f^{-1}$为$f$的反函数。
定义2.3.1：递增（递减）函数：对于函数$f : X \rightarrow Y$，如果对于任何$x_1, x_2 \in X$，只要
定义2.3.1（严格）单调函数：在$X$上的（严格）递增或（严格）递减函数。
定理2.3.1：设函数$f$在其定义域$X$上是严格递增（递减）的，那么反函数$f^{-1}$必存在，$f^{-1}$的定义域为$f(X)$，$f^{-1}$在这一集合上也是严格递增（递减）的。
2、反证法：如果$f$没有不动点，那么$f \circ f$也没有不动点；如果$f$有多个不动点，那么$f \circ f$也有多个不动点。
3、反证法：假设存在$f(a) = d, f(d) = a, d \neq b$，那么$d$也是不动点，与题目矛盾
4、（1）$f(x) = x, f(x) = -x$ （2）$f(x) = x$
7、以任何正数为周期，那么对于任意$l$有$f(x + l) = f(x)$
8、（1）$\sin()$的周期是
（2）
定义2.4.1 函数极限：设函数$f$在点$x_0$的附近有定义，但$x_0$这一点自身可以是例外。设$l$是一个实数，如果对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta >0$，使得对一切满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$的$x$，均有
$$
|f(x)-l|<\epsilon
$$
则称当$x$趋于点$x_0$时函数$f$有极限
定理2.4.3：若$f$在$x_0$处有极限，那么$f$在$x_0$的一个近旁是有界的。也就是，存在整数$M, \delta$，使得当$0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$时，$ f(x)|<M$。
定理2.4.4：$\lim {x \rightarrow x{0}} f(x)$与$\lim {x \rightarrow x{0}} g(x)$都存在时，那么有：
- $\lim {x \rightarrow x{0}}(f \pm g)(x)=\lim {x \rightarrow x{0}} f(x) \pm \lim {x \rightarrow x{0}} g(x)$
- $\lim {x \rightarrow x{0}}fg(x)=\lim {x \rightarrow x{0}} f(x) \cdot \lim {x \rightarrow x{0}} g(x)$
- $\lim {x \rightarrow x{0}}\frac{f}{g}(x)=\frac{\lim {x \rightarrow x{0}} f(x)}{\lim {x \rightarrow x{0}} g(x)}$，其中$\lim {x \rightarrow x{0}} g(x) \neq 0$
定理2.4.5：设函数$f, g$与$h$在点$x_0$的近旁（点$x_0$自身可能是例外）满足不等式 $$ f(x) \leq h(x) \leq g(x) $$ 如果$f, g$在点$x_0$有相同的极限$l$，那么$h$点$x_0$也有极限$l$。
定理2.4.6：设存在$r>0$，使得当$0<|x-x_0|<r$时，不等式$f(x)\leq g(x)$成立，又设在$x_0$出这两个函数都有极限，那么 $$ \lim_{x \rightarrow x_0}f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0}g(x) $$ 定理2.4.7：函数$f$在$x_0$有极限，必须且只需对任意给定的$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意的$x_1, x_2 \in B_\delta(\hat x_0)$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$。
定理2.4.8：设$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=l, \lim_{x \rightarrow t_0}g(t)=x_0$，如果在$t_0$的某个领域$B_{\eta}(t_0)$内$g(t) \neq x_0$，那么 $$ \lim_{t \rightarrow t_0} f(g(t))=l $$ 定义2.4.2：设函数$f$在$(x_0, x_0+r)$上有定义。设$l$是一个给定的实数，若对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta \in (0, r)$，使得$0 < x-x_0 < \delta$时，有 $$ |f(x) - l| < \epsilon $$ 则称$l$为$f$在$x_0$处的右极限，表示为 $$ l=\lim_{x \rightarrow x^+_0}f(x) $$ 右极限通常记作$f(x_0+)$，类似地，可以定义$f$在$x_0$处的左极限$f(x_0-)$。
定理2.4.9：设函数$f$在$x_0$的某个领域内（$x_0$可能是例外）有定义，那么$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的充分必要条件是 $$ f(x_0+) = f(x_0-) $$ 例子： $$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
11、（3）$x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1=m$
（4）同理，$m/n$
（5）$\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}$
（7）
（8）$=\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{x-1}{x-1}+\frac{x^2-1}{x-1}+\cdots+\frac{x^m-1}{x-1}\right)=1+2+\cdots+m=\frac{(1+m)m}{2}$
定义2.5.1：设$l$是一确定实数，表达式 $$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=l $$ 的意思是，对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个正数$A$，当$x$满足$|x|>A$时，有$|f(x)-l|<\epsilon$。这时，我们说“当x趋向于无穷时，函数$f$有极限$l$”。
定义2.5.2：对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个正数$A>0$，使得当$x<-A$时，有 $$ |f(x) - l| < \epsilon $$
在这种情况下，我们说“在负无穷处函数$f$有极限$l$”，记作 $$ f(-\infty) = \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l $$ 定理2.5.1：$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=l$ 当且仅当 $$ f(-\infty) = \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l, f(+\infty) = \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l $$ 同时成立。
定义2.6.1：设$x_0$是一个实数，函数$f(x)$在$x_0$的一个近旁（可能除$x_0$之外）有定义。如果对任意给定的正数A，存在$\delta>0$，使得$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|>A$，则称“当x趋向于$x_0$时，函数$f$趋向于**无穷大**”，记作 $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty, $$ 或者 $$ f(x)\rightarrow\infty \quad (x\rightarrow x_0) $$
类似的，如果$\lim f(x)=0$，则称“在该过程中，$f$是一个**无穷小（量）**”。
定义2.6.2：设当$x\rightarrow x_0$时，$f$与$g$都是无穷小，并且$g$在$x_0$的一个充分小的近旁（除$x_0$外）不取零值。
（1）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，那么称$f$是比$g$更高阶的无穷小；
（2）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0$，那么称$f$是和$g$同阶的无穷小；
（3）如果（2）中的极限值$l=1$，那么称$f$与$g$石等阶的无穷小，记作$f \sim g \quad (x \rightarrow x_0)$。
类似的，如果$f, g$都是无穷大：
（1）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，那么称$g$是比$f$更高阶的无穷大；
（2）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0$，那么称$f$是和$g$同阶的无穷大；
定理2.6.1：如果当$x\rightarrow x_0$（$x_0$可以是$\pm \infty$）时，$f,g$等价的无穷小或无穷大时，那么：
（1）$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)h(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)f(x)$
（1）$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{h(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{g(x)}{h(x)}$
定义2.6.3：设函数$f,g$在$x_0$的近旁（$x_0$除外）有定义，并且$g(x)\neq 0$：
（1）当$x\rightarrow x_0$时，若比值$f(x)/g(x)$保持有界，即存在正常数$M$，使得$|f(x)|\leq M|g(x)|$成立，就用$f(x)=O(g(x))(x\rightarrow x_0)$来表示；
（2）当$x\rightarrow x_0$时，若比值$f(x)/g(x)$是一个无穷小，即$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，就用$f(x)=o(g(x))(x\rightarrow x_0)$表示。
定义2.7.1：设$f:[a,b]\rightarrow R$，我们称函数$f$在点$x_0\in (a,b)$连续，如果 $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$ 也就是说，对任意给定的$\epsilon >0$，存在一个适当的$\delta >0$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，有 $$ |f(x) - f(x_0)|<\epsilon $$
存在处处不连续的函数（如Dirichlet函数），也存在只在一点连续的函数。
定义2.7.2：如果$f(x_0+)=f(x_0)$，则函数在$x_0$处右连续，如果$f(x_0-)=f(x_0)$，则函数左连续。
定理2.7.1：如果函数$f$与$g$在$x_0$处连续，那么$f\pm g$与$fg$在$x_0$处连续，进一步，若$g(x_0)\neq 0$，则$f/g$也在$x_0$处连续。
定理2.7.2：如果函数$g$在$t_0$处连续，记作$g(t_0)$为$x_0$，如果函数$f$在$x_0$处连续，那么复合函数$f \circ g$在$t_0$处连续。
定义2.7.3：设I是一个开区间，例如$(a, b), (a, +\infty), (-\infty, b), (-\infty, +\infty)$。如果函数$f$在$I$上的每一点都连续，则称$f$在$I$上连续，是指$f$在$(a,b)$上连续，并且在$a$点处右连续，同时在$b$点处左连续。人们也称$f$是$I$上的**连续函数**。不论区间$I$是开区间或闭区间，有限或无穷的，用$C(I)$记$I$上连续函数的全体。
定理2.7.3：设$f$是在区间$I$上严格递增（减）的连续函数，那么$f^{-1}$是$f(I)$上的严格递增（减）函数。
初等函数：多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及经过它们有限次的四则运算、有限次复合所形成的函数，统称初等函数。
定理2.7.4：初等函数在它们各自的定义域上都是连续的。
设$x_0$是函数$f$定义域中的一点，如果$f$在$x_0$连续，则称$x_0$为f的**连续点，否则为间断点**。
定义2.7.4：设$x_0$是函数$f$的间断点：
- 如果$f(x_0+)$与$f(x_0-)$存在，且是有限的数，但$f(x_0+) \neq f(x_0-)$，那么$x_0$为$f$的一个**跳跃点。差值$|f(x_0+) - f(x_0-)|>0$称为$f$在这一点的跳跃**。
- 如果$f(x_0+)$与$f(x_0-)$存在且有限，并且$f(x_0+) = f(x_0-)$但是不等于$f(x_0)$，则称$x_0$为$f$可去间断点。
- 如果$f(x_0+)$与$f(x_0-)$中至少有一个不存在或者不是有限的数，那么$x_0$叫做$f$的**第二类间断点**。
- 跳跃点和可去间断点统称为$f$的**第一类间断点**。
定理2.7.5：设$f$是区间$(a, b)$上的递增（减）函数，则$f$的间断点一定是跳跃点，而且跳跃点集是至多可数的。
如果函数$f$在$x_0$处连续，那么 $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$ 函数$f$在$x_0$处连续的事实可以表示为 $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(\lim_{x\rightarrow x_0}x) $$ 极限的计算：
$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{1/x}=\lim_{y\rightarrow \infty}(1+1/y)^y=e$
幂指函数：$u(x)^{v(x)}\quad (u(x)>0)$
- 当$u, v$时连续函数时，幂指函数也是连续函数。
定义2.9.1：如果对任意给定的$\epsilon>0$，总是存在一个$\delta>0$，使得当$x_1, x_2 \in I$且$|x_1-x_2|<\delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|<\delta$，则称函数$f$在区间$I$上是**一致连续**的。
不是一致连续：当且仅当存在一个$\epsilon_0 > 0$，对每一个$n\in N^*$，都可以在$I$中找到两个点，记为$s_n$和$t_n$，使得虽然有$|s_n-t_n|<1/n$，但是 $$ |f(s_n)-f(t_n)\geq \epsilon_0. $$
定理2.10.1：设函数$f$在$[a, b]$上连续，那么$f$在$[a, b]$上一致连续。（注意，此区间必须是有界的）
定理2.10.2：有界闭区间上的连续函数必在该区间上有界。
定理2.10.3：设$f$在$[a, b]$上连续，记 $$ M=\sup_{x\in [a, b]}f(x), \quad m = \inf_{x\in [a, b]}f(x), $$ 则必存在$x^, x_ \in [a, b]$，使得 $$ f(x^)=M, \quad f(x_) = m. $$ 定理2.10.4（零值定理）：设$f$在$[a, b]$上连续，如果$f(a)f(b)<0$，则必存在一点$c\in (a, b)$，使得$f(c)=0$。
定理2.10.5（介值定理）：设$f$是在$[a, b]$上非常值的连续函数，$\gamma$是介于$f(a)$与$f(b)$之间的任何实数，则必存在$c \in (a, b)$，使得$f(c) = \gamma$。
推论2.10.1：设非常数值函数$f$在$I=[a, b]$上连续，那么$f$的值域$f(I)$是一个闭区间。
定义2.11.1：令$E={l \in R_{\infty}:存在数列x_n\in B_{\delta}(\tilde{x}), x_n \rightarrow x_0, 使得f(x_n)\rightarrow l}$
这是一个非空集合，设$a^=\sup E, a_=\inf E$，分别称它们为
-
$a^{*} \in E$ ； - 若$y > a^*$，则存在$\delta > 0$，使得当
$0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$f(x) < y$； -
$a^*$ 是满足前述条件性质唯一的数。
定理2.11.2：设$f, g$在$I$上有定义，那么：
-
$\lim_{x \rightarrow x_0} \inf f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0} \sup f(x)$ ； -
$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = a$ , 当且仅当$\lim_{x \rightarrow x_0} \inf f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \sup f(x) = a$； - 若当$x \in I$时，$f(x) \leq g(x)$成立，则
自然界中，许多现象，是有严格的因果关系所支配的。例如月亮的阴晴圆缺、四季的更迭、日食和月食的发生……对这一类完全由因果关系支配的系统进行一般研究，自然有重大意义。这种完全由因果关系所制约的系统，通常叫做**决定性系统。研究决定性系统的数学分支称为动力系统理论**。
设$I$是任意一个区间，函数$f: I \rightarrow I$。将$f$反复地复合，产生$f^2(x) = f \circ f(x)$，一般地，$f^n(x) = f \circ f^{n-1}(x) (n \geq 3)$。规定$f^0(x) = x$，即表示恒等映射；$f^1(x) = f(x)$。称$f^n$为$f$的**第n次迭代**。
对任意固定的$x \in I$，考虑序列 $$ x, f(x), f^2(x), \cdots, f^n(x), \cdots. $$ 如果正整数$m$使得$f^m(x) = x$，乘$m$为点$x$的一个周期，称$x$为$f$的一个周期点。
那么$m$的任何正整数倍一定也是$x$的一个周期。
对于上述序列叫做点$x$的$n$周期轨。
定义2.12.1：设$f$施区间$I$到自身的连续映射，$f$满足下列条件：
(1). f的周期点的最小周期没有上界； (2). 存在I的不可数子集S，满足： (a) 对任何$x, y \in S, x \neq y$，有 $$ \lim_{n \rightarrow \infty}\sup |f^n(x) - f^n(y)| > 0; $$ (b) 对任何$x, y \in S$，有 $$ \lim_{n \rightarrow \infty}\inf |f^n(x) - f^n(y)| = 0; $$ 这时称$f$描述的系统为混沌系统。
定义 3.1.1（可导的定义）：设函数$f$在点$x_0$的近旁有定义，如果极限 $$ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 存在且有限，则称这个极限值为$f$在点$x_0$的导数，记作$f'(x_0)$，并称函数$f$在点$x_0$可导。
定义 3.1.2（左右导数定义）：设函数$f$在点$x_0$的右边$[x_0, x_0+r]$上有定义。若极限 $$ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 存在且有限，则称此极限为$f$在点$x_0$的右导数，记作$f'+(x_0)$。类似地，可定义$f$在点$x_0$的左导数$f'-(x_0)$。
函数$f$在点$x_0$可导的充分必要条件是，在点$x_0$左、右导数存在且相等。
定理 3.1.1（可导与连续）：若函数$f$在点$x_0$可导，则$f$必在点$x_0$连续。
定义 3.1.3（在区间可导）：如果函数$f$在开区间$(a, b)$中每一点可导，则称$f$在$(a, b)$可导；如果$f$在$(a, b)$可导，并且在点$a$处有右导数，在点$b$处有左导数，则称$f$在闭区间$[a, b]$可导。
定理 3.2.1（求导的四则运算）：设函数$f$和$g$在点$x$处可导，则$f \pm g$,
- (1)
$(f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x)$ - (2)
$(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ - (3)
$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$
定理 3.2.2（链式法则）：设函数$\phi$在点$t_0$处可导，函数$f$在点$x_0 = \phi(t_0)$处可导，那么复合函数$f \circ \phi$在点$t_0$处可导，并且 $$ (f \circ \phi)'(t_0) = f'(\phi(t_0)) \phi'(t_0) $$ 上述法则可以推广到三个或更多组合的复合函数。
定理 3.2.3（反函数的导数）：设$y = f(x)$在包含$x_0$的区间$I$上连续且严格单调。如果它在$x_0$处可导，且$f'(x_0) \neq 0$，那么它的反函数$x = f^{-1}(y)$在$y_0 = f(x_0)$处可导，并且 $$ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} $$ 导数的几何意义：函数$f$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$，可以看成平面曲线$y=f(x)$在点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
常见的求导公式： $$ c' = 0 \ (x^\mu)' = \mu x^{\mu-1} \ (e^x)' = e^x \ (a^x)' = a^x\ln a \ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \ (\ln x)' = \frac{1}{x} \ (\sin x)' = \cos x \ (\cos x)' = -\sin x \ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2x} \ (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2x} \ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \ (\text{arccot }x)' = -\frac{1}{1+x^2} $$
设函数$f$在区间$I$上可导，那么$f'(x)(x \in I)$在$I$上定义了一个函数$f'$，称之为$f$的导函数。
如果$f'$在$I$上可导，那么$f'$的导函数$(f')'$记作$f''$，称为$f$的二阶导函数。
对于任何正整数$n \in \N^*$，可以定义$f$的$n$阶导函数
定理 3.3.1（Leibniz 莱布尼茨）设函数$f$与$g$在区间$I$上都有$n$阶导数，那么乘积$fg$在区间$I$上也有$n$阶导数，并且 $$ (fg)^{(n)} = \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\ k \end{pmatrix} f^{(n-k)}g^{(k)} $$ 这里$f^{(0)} = f, g^{(0)} = g$。其中组合系数$\begin{pmatrix} n\ k \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \quad(k=0,1,\cdots,n).$
定义 3.4.1：设函数$f:(a, b) \rightarrow R$。如果对点$x_0 \in (a, b)$，存在$\delta > 0$，使得$\Delta = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a, b)$，并且当$x \in \Delta$时，$f(x_0) \ge f(x)$，即$f(x_0)$是$f$在$\Delta$上的最大值，那么称$f(x_0)$是$f$在$(a, b)$上的一个极大值，$x_0$称为$f$的一个极大值点。
类似地，可以定义$f$在$(a, b)$上的极小值和极小值点。
极小值和极大值统称极值，极小值点和极大值点统称极值点。
定理 3.4.1（Fermat）：若函数$f$在机极值点$x_0 \in (a, b)$处可导，则必有$f'(x_0) = 0$。
定义3.4.2：满足$x_0 \in (a, b)$且$f'(x_0) = 0$，则称$x_0$为函数$f$的一个驻点。
定理3.4.2（Rolle 罗尔）：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，且$f(a) = f(b)$，那么存在一点$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$。
引理3.4.1：设函数$f$与$\lambda$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，并且$\lambda(a) = 1, \lambda(b) = 0$，则必存在一点$\xi \in (a, b)$，使得
$$
f'(\xi) = \lambda'(\xi)(f(a) - f(b))
$$
定理3.4.3（Lagrange）：设$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，则存在一点$\xi \in (a, b)$，使得
$$
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi)
$$
推论3.4.1：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，则函数$f$在$[a, b]$上为常数的充分必要条件是
定理3.4.4（Cauchy）：设函数$f$和$g$在区间$[a, b]$上连续，在区间$(a, b)$上可导，且当$x \in (a, b)$时，$g'(x) \neq 0$，这时必存在一点$\xi \in (a, b)$，使得 $$ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$ 定理3.4.5（Darboux达布）：如果$f$在$[a, b]$上可导，那么：
- 导函数$f'$可以取到$f'(a)$与$f'(b)$之间的一切值
-
$f'$ 无第一类间断点
定理3.5.1：设函数$f$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，那么$f$在$[a, b]$上递增（减）的充分必要条件是，$f' \ge 0 (\le 0)$在区间$(a, b)$上成立。
定理3.5.2：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导。如果$f' > 0 (f' < 0)$在$(a, b)$上成立，那么$f$在$[a, b]$上是严格递增（严格递减）的。
定理3.5.3：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内除了有限点之外，有正（负）的导数，那么$f$在$[a, b]$上严格递增（严格递减）。
定理3.5.4：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，那么$f$在$[a, b]$上严格递增（严格递减）的充分必要条件是：
- 当$x \in (a, b)$时，$f' \ge 0 (f' \le 0)$；
- 在$(a, b)$的任何开子区间上
$f' \neq 0$ 。
定理3.5.5：设函数$f$在$[a, b]$上连续，$x_0 \in (a, b)$：
- 如果存在正数$\delta > 0$，使得在$(x_0 - \delta, x_0)$上$f' > 0$，而在$(x_0, x_0 + \delta)$上$f' < 0$，那么$f(x_0)$是$f$的一个严格极大值，所谓“严格极大值”是指，当$0 < |x-x_0| < \delta$时，$f(x) < f(x_0)$。
- 如果存在正数$\delta > 0$，使得在$(x_0 - \delta, x_0)$上$f' < 0$，而在$(x_0, x_0 + \delta)$上$f' > 0$，那么$f(x_0)$是$f$的一个严格极小值，所谓“严格极小值”是指，当$0 < |x-x_0| < \delta$时，$f(x) > f(x_0)$。
定理3.5.6：设函数$f$在$[a, b]$上连续，$x_0 \in (a, b)$是$f$的一个驻点，进一步，设$f''(x_0)$存在，那么：
- 当$f''(x_0) < 0$时，$f(x_0)$是$f$的一个严格极大值；
- 当$f''(x_0) > 0$时，$f(x_0)$是$f$的一个严格极小值；
凸函数（Convex function）：设函数$f$在区间$I$上有定义，如果对任何$x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，以及任意的$\lambda_1, \lambda_2 > 0$，且$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$，都有 $$ f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2x_2) \leq \lambda_1f(x_1) + \lambda_2f(x_2) $$ 则$f$为$I$上的凸函数。如果上述不等式对任何的$x_1 \neq x_2, \lambda_1, \lambda_2 > 0 (\lambda_1 + \lambda_2 = 1)$不等号总成立，那么$f$在$I$上是严格凸函数。
定理3.5.9：函数$f$在$I$上市凸函数，当且仅当对任何$(x_1, x_2) \subset I$及任何$x \subset (x_1, x_2)$有 $$ \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} $$ 如果$f$是严格凸函数，则上述是严格的不等号。
定理3.5.10：设$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，则$f$在$[a, b]$上为凸函数（严格凸函数）的一个充分必要条件是，$f'$在$(a, b)$上递增（严格递增）。
定理3.5.11：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上有二阶导数，则$f$在$[a, b]$上为凸函数的充分必要条件是，$f'' \ge 0$在$(a, b)$上成立；而$f$在$[a, b]$上为严格凸函数的充分必要条件是，$f'' \ge 0$在$(a, b)$上成立，并且在$(a, b)$的任何子区间内$f''$不恒等于0.
定理3.6.1（L'Hospital洛必达）：设$f, g$在$(a, b)$上可导，并且$g(x) \neq 0$对$x \in (a, b)$成立，又设 $$ \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow a^+} g(x) = 0 $$ 在这些条件下，如果极限$\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或为$\infty$），那么便有 $$ \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}. $$ 定理3.6.2：设函数$f, g$在$(a, +\infty)$上可导，并且$g(x) \neq 0$对$x \in (a, +\infty)$成立，又设 $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = 0, $$ 如果极限$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或为$\infty$），有 $$ \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}. $$ 定理3.6.3：设函数$f, g$在$(a, b)$上可导，并且$g(x) \neq 0$，且 $$ \lim_{x \rightarrow a^+}g(x) = \infty $$ 如果极限$\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或为$\infty$，那么 $$ \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}. $$
定义3.7.1（拐点）：设函数$f$在$x_0$的两旁（包括$x_0$在内）有定义，在$x_0$的一侧图像$y = f(x)$时严格凸的，另一侧是严格凹的，那么称$x_0$是$f$的一个拐点。
定义3.7.2（渐近线）：（1）如果$\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = a$或$\lim_{a \rightarrow -\infty}f(x) = b$，则称$y = a$或$y = b$为$y = f(x)$的一条水平渐近线。
（2）如果$\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = \pm \infty$或$\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = \pm \infty$，则称$x = x_0$为$y = f(x)$的一条垂直渐近线。
（3）如果$a \neq 0$，使得$\lim_{x \rightarrow +\infty}(f(x) - (ax + b)) = 0$或$\lim_{x \rightarrow -\infty}(f(x) - (ax + b)) = 0$，则称$y = ax + b$为$y = f(x)$的一条斜渐近线。
作图的步骤：
- 确定函数的定义域
- 判断函数是否有奇偶性、周期性及其他对称性
- 确定函数的增减区间及极值点
- 确定函数的凹凸区间及拐点
- 确定函数是否有渐近线
- 求出一些特殊点的值
定义4.1.1（可微、微分）：设函数$f$在$(a, b)$上有定义，且$x_0 \in (a, b)$，如果存在一个常数$\lambda$使得 $$ f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = \lambda\Delta x + o(\Delta x) \quad(\Delta x \rightarrow 0), $$ 则称函数$f$在点$x_0$处可微。函数的改变量的线性主要部分$\lambda \Delta x$称为$f$在$x_0$处的微分，记作$\text{d} f(x_0)$。
因此，当$|x - x_0|$相当小时有： $$ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$
一般地，关于函数四则运算的微分，有如下法则：
$\text{d} (f \pm g) = \text{d} f \pm \text{d} g$ $\text{d} (fg) = g \text{d} f + f \text{d} g$ -
$\text{d} (\frac{f}{g}) = \frac{g \text{d} f + f \text{d} g}{g^2}$ ，其中$g \neq 0$
导函数$f'$可以用$\frac{\text{d}f}{\text{d}g}$来表示，这是导数的Leibniz记号，因为$\frac{\text{d}f}{\text{d}g}$是函数的微分与自变量的微分的商，因此导数也称为微商。