lml2egg1314 / dct

implement Discrete Cosine Transform

Discrete Cosine Transform

原理

フーリエ変換

時間と周波数領域の相互変換。
時間領域で見てよくわからない信号でも、周波数領域で見ると性質がわかる場合がある。

フーリエ変換 $$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-i \omega t}dt $$

フーリエ逆変換 $$ x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega)e^{+i \omega t}d\omega $$

離散フーリエ変換

フーリエ変換を離散化して、デジタルなフーリエ変換を行う方法。

• DCT(Discrete Cosine Transform)
• FFT(Fast Fourier Transform) DCTの高速版！

離散フーリエ変換

$k$ : 周波数
$N$ : サンプリング点数 $$ X_{k}=\sum_{n=0}^{N-1}x_{n}e^{\frac{-2\pi ikn}{N}} $$ $$ x_{n}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_{k}e^{\frac{+2\pi ikn}{N}} $$

演習 DCT

• DCTを実装し、結果をグラフ表示
• DCTへ以下の波形を与え、それぞれのスペクトルを確認
  1. $\sin(\frac{2\pi t}{N} \cdot 10)$
  2. $\sin(\frac{2\pi t}{N})+\sin(\frac{2\pi t}{N} \cdot 10)$
  3. $\sin(\frac{2\pi t}{N})+\sin(\frac{2\pi t}{N} \cdot 10)+\frac{1}{5} \sin(\frac{2\pi t}{N} \cdot 20)$
• N=128, N=1024, N=2048についてそれぞれ試す
• 計算時間をチェックする

演習 FFT

• FFTへ以下の波形を与え、それぞれのスペクトルを確認
  1. $\sin(\frac{2\pi t}{N} \cdot 10)$
  2. $\sin(\frac{2\pi t}{N})+\sin(\frac{2\pi t}{N} \cdot 10)$
  3. $\sin(\frac{2\pi t}{N})+\sin(\frac{2\pi t}{N} \cdot 10)+\frac{1}{5} \sin(\frac{2\pi t}{N} \cdot 20)$
• N=128, N=1024, N=2048についてそれぞれ試す
• DCTとの計算時間の違いを測定(N=2048)