合租一个月租6000元的三室公寓，谁住主卧谁住次卧谁住客房？每人该付多少钱？
一份价格100元的寿司套餐里，有一个金枪鱼海胆手卷和一个蟹棒手卷，两人各选一个该如何分？
double date住酒店，都想住标间，但酒店只剩一套$200的标间和一套$600豪华双人间，这两对情侣都不愿意住这么贵的豪华双人间，但愿意给标间多付点钱，能否协商入住呢？
……
这些问题经过抽象变成下文的模型，还可以泛化，比如竞拍者可以是两个国家，形成基于比较优势的贸易模式，报价可以是生产率，也可以是负的生产时间。
可以用负的报价表示损失，比如在任务分配问题中，负数报价可以是时间消耗，也可以是要求分得的奖金。

若是对理论不感兴趣，可以直接跳到文末一个简单的在线实现方法

多物品拍卖（最优分配算法）

该算法的目的是把总价为的n个物品更有效的分配给n个人，实现效用最大化以及相对公平的分价。

理论步骤

封闭报价

n个竞拍者封闭报价，给出自己对n个物品的报价，反映n个物品对自己的效用（并不是“认为他人应为该物品付多少钱”，而是自己愿意为单独购买此物品所付的价格，与他人无关），形成报价矩阵

其中第1行即第1个人对n个物品的报价。
...以此类推

因此每行之和，即每个人的对所有物品的报价和，都等于原始n个物品的总价

物品分配

(虚拟)卖家将挑选出最优报价组合，使报价组合的总价格最高
其中代表矩阵中互不相同的n行，即n个不一样的人
物品1将分配给第个人
物品2将分配给第个人
......以此类推

实际支出

n个物品原本的总价是固定的（比方说一个包含可乐、鸡翅、薯条、汉堡的套餐总价为30元）
显然，拍卖后卖家挑选的最优报价组合的总价格（仅在所有人报价完全一致时取等）

由于本方案的目的是更好的分配物品，拍卖的卖家是虚拟的，无须盈利。所以我们要调整实际支出，使得所有人的实际支出和等于物品的原始总价。

此处给出两种方法，第一种熟悉的Normalize正则化基于效用的比例差异，第二种均匀返现基于效用的绝对值差异，绝对值差异在数学上会更严谨。但严谨程度都取决于竞拍人在报价反映自身效用时的想法。

Normalize正则化

已知为最优报价组合的总价格，为n个物品原始价格总额。则设正则项

设第i个人在最优组合中被分配到了物品j，则每个人调整后的实际支出为

均匀返现

虚拟卖家把超额利润均分给所有n个竞拍者，即

最终效果

显然，每个人的实际支出都将小于他对该物品的原报价。因此，经过组合团购&拍卖交易后，每个人获得的效用增加了。

数学证明

假设效用可以用货币来衡量。设第j个物品给第i个人带来的效用（Utility）为，报价为，那么假如报价即为此人购买该物品的支出，则购买物品j给第i个人带来的收益为

假设任何一个竞拍者，对所有物品的报价都真实反映了该物品对自己的效用，则所有物品给该竞拍者带来的收益都相等。即

记为。

因竞拍者对n个物品报价之和为原本的总价是固定的，易得

又由式(1)可得

此式说明，由于

对第i个人是固定的常数，那么他对不同物品的**报价**的**绝对值差异**，和不同物品给他带来的**效用**的**绝对值差异**，是相等的。 ### 总效用最大化以下给出两种思路，证明该分配方案能使所有人得到的总效用最大化。（自然也是帕累托最优）

证明1：

已知报价组合的总价格为

其中是1到n的一个排列，表示第个物品分配给。

又由式(2)可得

又由式(3)可知，在分配前已经是固定的了，是一个常数，而就是所有物品分配后给所有人带来的总效用。所以。

因此最优报价组合在最大化报价组合的总额的同时，也使得总效用最大化。

证明2：

还有另外一种证明思路，总共有个可行报价组合，倘若每个人的支出和报价一致，那么无论怎样组合，第i个人获得的收益始终是。
但最优报价组合能使报价之和最大，则虚拟卖家获得的“超额收益”能达到最大，虚拟卖家的这部分收益是会全额返还给竞拍者的。
假如把超额收益均匀返现，则第i个人最终获得的实际收益为。所有物品原始价格不变，则报价组合的总额越大，每个人得到的收益越大。

其实除了效用最大化，还有两点需要证明，一是竞拍者为什么会严格根据物品带来的效用差异来报价，即从博弈论的角度证明这是竞拍者的最优策略。二是如何调整实际支出，即怎样把“超额收益”返还给竞拍者最合理（我个人是觉得normalize在物品价差较大时更合理）。

Reference

起初就如引子里所提，由于存在物品分配/分价上的不一致，我基于对拍卖的一些初浅认识，尝试琢磨出这么一套方案，随后意外发现可以数学上证明它能使效用最大化。

不过在我试图提交到github时，搜了搜现有的repo，发现该问题经过假设抽象后，就成了Assignment Problem，并有成熟的算法如Hungarian algorithm以来求解该模型的最优化问题。

一个简单的在线实现方法

step 1:每个人准备好自己的报价写进自己私人的google sheet

step 2:过3分钟，大家一起公开自己的报价sheet的只读sharelink。（由于google sheet的修改记录是可见的，可验证3分钟内不存在报价变动。）

step 3:在google colab里打开本repo的auction.ipynb（也可直接点击https://colab.research.google.com/github/jokerkeny/MultiItem-Auction-Assignment/blob/master/auction.ipynb），输入报价并运行。当然也可以直接下载auction.py或auction.ipynb在本地运行。

其中step1 & 2是用于可靠的封闭报价的，sharelink得一起公开，否则存在事先准备好多个googlesheet的作弊漏洞。
如果没法使用google服务，可用加密的excel代替，随后公开密码。如果在现实中当面报价，Step 1 & 2可直接用纸笔封闭报价代替。

Written with StackEdit.
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jokerkeny / MultiItem-Auction-Assignment