RSA实验报告
一、实验环境介绍
1.1 电脑软硬件配置
-
软件平台：
操作系统：Windows 10专业版，64位操作系统
开发软件：Microsoft Visual Studio Premium 2012
-
硬件配置：
CPU：Intel i7-9700
内存：16GB
1.2 编译环境
-
编程语言：C++，使用MFC框架
-
编译选项：本地Windows调试器
二、程序使用说明
2.1 程序初始化
源代码编译完成后，运行RSA.exe可执行程序，初始化界面如图所示。
界面分为四个按钮，两个只读区（查看p, q），四个可写区（自定义公钥e、原文、密文和解密文本），计算的中间变量如n = p * q，密钥d等不可见。
执行顺序如下图，提供四个可选的加密方式：RSA-512(not safe)、RAS-768、RAS-1024和RAS-2048，密钥长度越长、执行时间越长、加密字符串长度的上限越高。
其中公钥e可由用户自定义输入，如果计算出的e和d不可逆，则会随机生成e，再次计算密钥d。
2.3 程序运行实例
三、代码架构
-
LargeInt.h：大数运算库，在该文件中实现了大数的四则运算以及取模运算。
-
Generator.h：密钥运算库，包括利用millerRabin算法生成指定位数的大素数（该算法分别用自定义的大数运算库、gmp库实现一遍，并对两算法的执行时间进行了比较，见后文）
-
Crypt.h：封装了生成密钥、加密、解密等函数，为MFC提供对应的函数接口。
四、RSA算法
4.1 素数筛法
实现素数筛法O(n)复杂度，得到n以内的质数并保存为vector，将vector中的质数作为millerRabin检测的底，来验证大素数的正确性。
4.2 快速幂模运算
在计算a^b(mod n)时，使用快速幂函数计算，将b改写为二进制字符串str，从前至后扫描str，遇1则乘a再平方，遇0则直接平方。在不考虑模运算复杂度的情况下，快速幂只需要O(lg b)的复杂度。
4.3 大数除法运算
对于自定义的大数类LargeInt，在计算a / b时，用较少的时间预先对商进行估值，而后更新a=a-q*b。由于减法和乘法的运行效率高于除法，因此可以在一定程度上降低除法运行时间，具体实现见LargeInt.cpp的296~334行。虽然效率有一定优化，但实际测试时，其复杂度仍然较高，在大素数的生成过程中不可避免地使用了gmp.h库。
4.4 大数运算细节
在大数类中定义symbol表示正负号，这样一来，虽然在四则运算中需要考虑符号细节。但是可以在利用Bezout定理求密钥d时减少工作量。
4.5 CRT定理
使用了CRT**剩余定理计算x^d(mod n)这类计算，有效的优化了计算时间。
4.6 运行时间对比
做实验来验证不同算法和优化对于时间的影响，结果见下表。
- 对于不同密钥长度，加密相同长度的文本，文本长度为22。
- 对比在解密过程中，使用CRT定理和不使用定理的执行时间，CRT的速度有
2~3的提升。 - 在生成密钥时，分为两种实现方式：自定义四则运算生成密钥 VS 利用gmp库生成密钥。可知gmp库的效率确实很高。（整个程序只有在生成密钥和大数除法时借助了gmp库）
| 时间(s) | 解密 | 解密（CRT） | 密钥生成 | 密钥生成(GMP) |
|---|---|---|---|---|
| RSA-768 | 2.451 | 1.072 | 33.667 | 0.032 |
| RSA-1024 | 4.855 | 2.049 | 182.219 | 0.102 |
| RSA-2048 | 30.863 | 11.503 | 336.188 | 1.064 |
五、实验感想和收获
在完成应用密码学课程RSA大作业的过程中，加深了我对于欧几里得定理、Bezout定理、CRT定理等的理解和感悟。总的来说，代码的实现细节非常重要，例如大数类中以1^28为底(而非10^9)，可以在转换为16进制时减少复杂度；还有在代码中使用底层的位运算，而非四则运算，也可以极大的提高运行效率。
虽然个人在代码中加入了许多优化，但是在实际的生产生活中，最好还是直接使用gmp等大数库，避免"造轮子"这类工作，站在前人的肩膀上才能看得更远。gmp库将数据看作二进制流，大量使用了位运算，在除法、幂运算体现出了极大的优势。在测试2048位密钥时，自己写的(除法运算等)函数虽然测试完成，但其时间过长，因此不得不采用gmp库。
最后，在测试和调研过程中，发现密钥长度对于加密算法的安全性有直接关系，位数较少的密钥，虽然运行效率非常高，但是其并不能保证安全性，因为破解起来也更加的轻松。整体上感觉加密和破解是一对相互促进、螺旋上升的过程：好的加密方案会促进社会的发展和进步，也会激励更多的人来研究如何破解；不同破解密钥新**、新方式的提出，又不断促进好的密码方案的进步，两者相辅相成。