dmrg_mps

一次元量子系の基底エネルギーを密度行列くりこみ群 (DMRG) で計算するプログラムです。データ構造として行列積状態 (MPS)とMatrix-product operator (MPO)を使っています。MATLABコードです。
ハミルトニアンをmatrix-product operator (MPO)で記述することでエネルギーを高速に計算します。

例として臨界点直上の横磁場イジングの基底エネルギーを求めるスクリプトを書きました。他の系に使う時はtransverseIsingMPO.mを参考にしてハミルトニアンをMPO表示してください。次にminimizeE.mの23行目を書き換えて下さい。

ドキュメント

手法・記法はSchollwoeck(2011)に従った。詳しくは論文を参照せよ。

トップレベルの呼び出しは
E_GS = minimizeE(J, h, N, D, isGS);
isGS=1なら基底状態を求める。isGS=0なら第一励起状態を求める（まだ実装していない。）

関数

minimizeE(J, h, N, D, isGS)
contractTensors(X, rankX, indXContr, Y, rankY, indYContr)
rightNormalize( mps )
transverseIsingMPO(N, J, h)
exactTransverseIsing(J, h, N)

スクリプト

onCriticalPoint.m
energyGap.m

テスト

test_contractTensors.m
test_rightNormalize.m

`function E_GS = minimizeE(J, h, N, D, isGS)`

横磁場イジングモデルの基底エネルギーを求める関数。
引数
J, h : モデルのパラメータ
N : サイト数
D : MPSのボンド次元
返り値
E_GS : isGS=1なら基底エネルギー。isGS=0なら第一励起準位。
バグ 未解決課題

MPS/MPOを使って実装している。本関数内でtransverseIsingMPO()を呼び出してMPO形式のHamiltonianを取得している。

MPOで書けるHamiltonianであれば本関数を若干修正することで基底エネルギーを計算できる。MPOで書けないHamiltonianは大幅な修正をしなければ基底エネルギーを計算できない。

初期状態はランダムに選んでいる。

本関数内で多次元配列（テンソル）の縮約を何度も行っている。テンソルの添え字の定義は以下の通りである：

図中で添え字に付いている丸nは、多次元配列のn次元目がそのボンドに対応することを表す。例えばM{l}(i,j,k)は①がiに、②がjに、③がkに対応する。

`function Z = contractTensors(X, rankX, indXContr, Y, rankY, indYContr)`

テンソルXの添え字indXContrとテンソルYの添え字indYContrを縮約する。
Parameters
X = A tensor
indXContr = The index of X to contract
rankX = Xのrank
Y = A tensor
indYContr = The index of Y to contract
rankY = Yのrank
Returns
Z = The contracted tensor of X and Y

Zの添え字の順番はXの縮約していない添え字が先に来て、Yの縮約していない添え字が後に来る。
例１)

X(i_1, ..., i_p, j_1, ..., j_q)  
Y(k_1, ..., k_r, j_1, ..., j_q)  
Z = contractTensors(X, p+q, [j_1, ..., j_q], Y, r+q, [j_1, ..., j_q]) 
-> sum_j X Y = Z(i_1, ..., i_p, k_1, ..., k_r)

例２）

X(i,p,k)  
Y(r,p,s)
Z = contractTensors(X, 3, 2, Y, 3, 2)
-> Z(i,k,r,s)

例３）

X(i,p,q,j)
Y(k,l,m,p,q)
Z = contractTensors(X, 4, [2 3], Y, 5, [4 5])
-> Z(i,j,k,l,m)

test_testTensorsで動作をテストした。

＊注意 MATLABはsize(T)=[n m 1]のテンソルを勝手にn*mの行列に変えてしまうので、この関数は正常に動かないことがある。
MATLABの多次元配列はリトルエンディアンである。すなわちD*D*D次元の多次元配列AはA(i,j,k)=A(i + D*j + D^2*k)の関係を満たす。

`function Bs = rightNormalize( mps )`

任意のMPSをnormalizeされたright-canonical formに変換する。入力 : mps = {M_1, M_2, ..., M_N} 出力 : Bs = {B_1, B_2, ..., B_N} ここでNは粒子数であり、M_iはrank-3のテンソルである。 B_iはSchollwoeckのB-matrixである。

テストはtest_rightNormalizedで行った。

`function HamiltonianMPO = transverseIsingMPO(N, J, h)`

横磁場イジングのハミルトニアンをMatrix product operator形式で返す出力：HamiltonianMPO : cell(1,N)で各セルは4次元配列、下図のWである。

`function E_GS = exactTransverseIsing(J, h, N)`

横磁場イジングモデルの基底エネルギーの厳密解。

YoshiHotta / dmrg_mps