MarcdeFalco / dedunat

Dedunat : assistant de preuve minimaliste pour la déduction naturelle

Programme de MPI/MP-option info.

Compilation

Cela utilise la même interface terminal que utop, donc si utop est installé, vous avez les dépendances et dune build suffit.

Pour bien gérer l'unicode, il faut une version récente d'OCaml : >=4.14.

Utilisation

Il s'agit d'une boucle interactive où on peut lancer des commandes (les mots-clés ne sont pas sensibles à la casse) :

• Help pour l'aide
• Help connecteur pour l'aide sur le connecteur
• Help intro pour l'aide sur les introductions.
• Help elim pour l'aide sur les eliminations.
• Prove formule lance la preuve de la formule
• Qed termine la preuve en cours si elle est bien achevée
• `Print affiche la preuve, qu'elle soit achevée ou non, en ascii.
• LaTeX affiche la preuve, qu'elle soit achevée ou non, en LaTeX avec des commandes compatibles avec le paquet busproofs.sty
• French affiche la preuve en français
• Intro operateur args pour appliquer une règle d'introduction
  • Pas d'arguments pour /\, -> et ~
  • Intro \/ left/right pour l'opérande à préserver
  • Intro \-/ x pour introduire un pour tout en faisant une alpha-conversion vers x de la variable liée
  • Intro -] t pour une introduction de il existe en remplaçant la variable liée par le terme t
• Elim operateur args pour appliquer une règle d'élimination
  • Elim -> A pour appliquer la règle sur G |- B en utilisant A -> B
  • Elim ~ A pour appliquer la règle sur A et ~A
  • Elim /\ left/right f pour passer de g à g /\ f si left, et f /\ g si right
  • Elim _|_ n'a pas d'arguments
  • Elim \/ A, B pour faire une disjonction sur A \/ B
  • Elim \-/ x t pour éliminer un pour tout en passant de |- f à |- f[x\t]
  • Elim -] x f pour éliminer un il existe en faisant apparaitre -]x.f
• Axiom pour appliquer une règle axiome
• Classical pour appliquer le tiers exclu (avec contexte vide ou non)
• Peirce pour appliquer la loi de Peirce (avec contexte vide ou non)
• Assume pour admettre le but
• Undo pour annuler la dernière règle appliquée
• Auto pour appliquer une introduction sur le symbole du nœud racine quand il n'y a pas d'arguments

Remarque pour l'instant pas de tests de variables libres sur les règles de pour tout et il existe.

Unicode

Par défaut, les caractères sont affichés en unicode. On peut lancer le programme avec -ascii comme option pour forcer l'affiche en ascii.

La saisie des symboles peut également se faire :

• soit avec les symboles unicodes : ∧, ∨...
• soit avec les commandes LaTeX : \land, \lor...

Exemple de déroulé

Preuve de (¬A ∧ ¬B) → ¬(A ∨ B) en utilisant l'unicode

Use <Tab> to cycle between symbols → ∧ ∨ ¬ ⟂ ∀ ∃
Nothing to prove > Prove (¬A ∧ ¬B) → ¬(A ∨ B)

Goal :  ⊢ (¬A ∧ ¬B) → ¬(A ∨ B) > intro →

Goal : ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬(A ∨ B) > intro ¬

Goal : A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂ > elim ∨ A, B

Remaining Goal : A, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂
Remaining Goal : B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂
Goal : A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ A ∨ B > axiom

Remaining Goal : B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂
Goal : A, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂ > elim ¬ A

Remaining Goal : A, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬A
Remaining Goal : B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂
Goal : A, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ A > axiom

Remaining Goal : B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂
Goal : A, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬A > elim ∧ left ¬B

Remaining Goal : B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂
Goal : A, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬A ∧ ¬B > axiom

Goal : B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂ > elim ¬ B

Remaining Goal : B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬B
Goal : B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ B > axiom

Goal : B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬B > elim ∧ right ¬A

Goal : B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬A ∧ ¬B > axiom

No more goals to prove. Print/LaTeX or Qed > print
                                                        ───────────────────────────ax                                ───────────────────────────ax      
                                                         A, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬A ∧ ¬B                                  B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬A ∧ ¬B       
                              ─────────────────────ax  ─────────────────────────────∧eg    ─────────────────────ax  ─────────────────────────────∧ed    
                               A, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ A        A, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬A          B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ B        B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬B         
   ──────────────────────ax  ─────────────────────────────────────────────────────────¬e  ─────────────────────────────────────────────────────────¬e   
    A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ A ∨ B                      A, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂                                        B, A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂                      
  ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────∨e  
                                                                   A ∨ B, ¬A ∧ ¬B ⊢ ⟂                                                                   
 ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────¬i 
                                                                   ¬A ∧ ¬B ⊢ ¬(A ∨ B)                                                                   
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────→i
                                                                 ⊢ (¬A ∧ ¬B) → ¬(A ∨ B)                                                                 
No more goals to prove. Print/LaTeX or Qed >

Preuve de A /\ B -> B /\ A

Nothing to prove.
> prove A /\ B -> B /\ A

Goal :  |- (A /\ B) -> (B /\ A)
> intro ->

Goal : A /\ B |- B /\ A
> intro /\

Remaining Goal : A /\ B |- A
Goal : A /\ B |- B
> elim /\ right A

Remaining Goal : A /\ B |- A
Goal : A /\ B |- A /\ B
> axiom

Goal : A /\ B |- A
> elim /\ left B

Goal : A /\ B |- A /\ B
> axiom

No more goals to prove. Print or Qed.
> print
    ----------------ax      ----------------ax
     A /\ B |- A /\ B        A /\ B |- A /\ B
  ------------------/\ed  ------------------/\eg
       A /\ B |- B             A /\ B |- A
 ----------------------------------------------/\i
                 A /\ B |- B /\ A
-------------------------------------------------->i
               |- (A /\ B) -> (B /\ A)
No more goals to prove. Print or Qed.
> qed

Nothing to prove.
>

Preuve de (\-/x.P(x)) -> -]x.P(x)

Nothing to prove.
> prove (\-/x.P(x)) -> -]x.P(x)

Goal :  |- (\-/x. P(x)) -> (-]x. P(x))
> intro ->

Goal : \-/x. P(x) |- -]x. P(x)
> intro -] x

Goal : \-/x. P(x) |- P(x)
> elim \-/ x x

Goal : \-/x. P(x) |- \-/x. P(x)
> axiom

No more goals to prove. Print/LaTeX or Qed.
> print
    ------------------------ax
     \-/x. P(x) |- \-/x. P(x)
  --------------------------\-/e
        \-/x. P(x) |- P(x)
 -------------------------------]i
      \-/x. P(x) |- -]x. P(x)
---------------------------------->i
   |- (\-/x. P(x)) -> (-]x. P(x))
No more goals to prove. Print/LaTeX or Qed

Preuve de (-]y.\-/x.R(x,y)) -> \-/x.-]y.R(x,y)

> prove (-]y.\-/x.R(x,y)) -> \-/x.-]y.R(x,y)

Goal :  |- (-]y. \-/x. R(x, y)) -> (\-/x. -]y. R(x, y))
> intro ->

Goal : -]y. \-/x. R(x, y) |- \-/x. -]y. R(x, y)
> intro \-/ x

Goal : -]y. \-/x. R(x, y) |- -]y. R(x, y)
> intro -] y

Goal : -]y. \-/x. R(x, y) |- R(x, y)
> elim \-/ x x

Goal : -]y. \-/x. R(x, y) |- \-/x. R(x, y)
> elim -] y \-/x.R(x,y)

Remaining Goal : \-/x. R(x, y), -]y. \-/x. R(x, y) |- \-/x. R(x, y)
Goal : -]y. \-/x. R(x, y) |- -]y. \-/x. R(x, y)
> axiom

Goal : \-/x. R(x, y), -]y. \-/x. R(x, y) |- \-/x. R(x, y)
> axiom

No more goals to prove. Print/LaTeX or Qed.
> print
       ----------------------------------------ax  --------------------------------------------------ax
        -]y. \-/x. R(x, y) |- -]y. \-/x. R(x, y)    \-/x. R(x, y), -]y. \-/x. R(x, y) |- \-/x. R(x, y)
      -------------------------------------------------------------------------------------------------]e
                                      -]y. \-/x. R(x, y) |- \-/x. R(x, y)
    ---------------------------------------------------------------------------------------------------\-/e
                                         -]y. \-/x. R(x, y) |- R(x, y)
   --------------------------------------------------------------------------------------------------------]i
                                       -]y. \-/x. R(x, y) |- -]y. R(x, y)
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------\-/i
                                    -]y. \-/x. R(x, y) |- \-/x. -]y. R(x, y)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------->i
                                 |- (-]y. \-/x. R(x, y)) -> (\-/x. -]y. R(x, y))

No more goals to prove. Print/LaTeX or Qed.