Projeto 1 - SCC-5900 – Projeto de algoritmos
Este projeto implementa um sistema que resolve o quebra-cabeças Sudoku utilizando algoritmos de força bruta.
Apesar de cumprir a missão, algoritmos de força bruta pecam no quesito performance. Afim de melhorar a performance do projeto adicionamos algumas heurísticas.
No restante do trabalho, rodamos os algoritmos de força bruta sem e com heurísticas, analisamos e comparamos os resultados.
Problemas de Satisfação de Restrições (PSR)
Para aqueles que imaginam que o Sudoku é somente um problema de natureza oriental, desminto este grande equívoco. O problema proposto pelo jogo Sudoku é um problema, na verdade, que pode ser considerado de natureza de satisfação de restrição.
Calma, querido leitor, explico.
O objetivo do jogo Sudoku é encontrar uma solução na qual você precisa satisfazer um conjunto de regras.
Por exemplo, dada um tablueiro de Sudoku, semi-completado com números de 1 a 9, você precisa descobrir os outros números que completem o trabuleiro, porém você:
- não pode repetir número na mesma coluna;
- não pode repetir número na mesma linha;
- não pode repetir número na mesma grade 3x3.
Ou seja, você precisa encontrar uma solução que respeite determinadas restrições. Ou seja é um problema de satisfação de restrição!
A àqueles que precisam ver para crer, demonstro abaixo:
Problema:
| 5 1 7 6 . . . 3 4 |
| 2 . 9 . . 4 . . . |
| 3 4 6 2 . 5 . 9 . |
| 6 . 2 . . . . 1 . |
| . 3 8 . . 6 . 4 7 |
| . . . . . . . . . |
| . 9 . . . . . 7 8 |
| 7 . 3 4 . . 5 6 . |
| . . . . . . . . . |
Solução:
| 5 1 7 6 9 8 2 3 4 | | 2 8 9 1 3 4 7 5 6 | | 3 4 6 2 7 5 8 9 1 | | 6 7 2 8 4 9 3 1 5 | | 1 3 8 5 2 6 9 4 7 | | 9 5 4 7 1 3 6 8 2 | | 4 9 5 3 6 2 1 7 8 | | 7 2 3 4 8 1 5 6 9 | | 8 6 1 9 5 7 4 2 3 |
Como você pode perceber na linha 1, os números não se repetem, na coluna 1, os números não se repetem e no quadrado 3x3, os números não se repetem. Parabéns! Você tem uma solução e pode fazer outra coisa da sua vida.
Agora, formalizando o problema e as restrições de uma possível solução segundo as normas e regras de PSR.
Variaveis: {
[0,0],[0,1],[0,2],[0,3],[0,4],[0,5],[0,6],[0,7],[0,8],
[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[1,5],[1,6],[1,7],[1,8],
[2,0],[2,1],[2,2],[2,3],[2,4],[2,5],[2,6],[2,7],[2,8],
[3,0],[3,1],[3,2],[3,3],[3,4],[3,5],[3,6],[3,7],[3,8],
[4,0],[4,1],[4,2],[4,3],[4,4],[4,5],[4,6],[4,7],[4,8],
[5,0],[5,1],[5,2],[5,3],[5,4],[5,5],[5,6],[5,7],[5,8],
[6,0],[6,1],[6,2],[6,3],[6,4],[6,5],[6,6],[6,7],[6,8],
[7,0],[7,1],[7,2],[7,3],[7,4],[7,5],[7,6],[7,7],[7,8],
[8,0],[8,1],[8,2],[8,3],[8,4],[8,5],[8,6],[8,7],[8,8]
}
Domínio: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Restrições:
- R1: Não repetir na linha;
- R2: Não repetir na coluna;
- R3: Não repetir no quadrado 3x3;
Estado
Um estado é uma atribuição de valores para algumas ou todas as variáveis.
Atribuição: um valor para uma varíavel
Atribuição consistente
- Atribuição que não viola nenhuma restrição.
Atribuição completa
- Uma atribuição é completa quando toda variável possui um valor.
Solução: Uma solução para um PSR é uma atribuição completa e consistente.
Metodologia
Existem várias técnicas para resolver o problema do Sudo Ku. Neste trabalho vamos usar o Backtracking e mais algumas heurísticas.
Algoritmo A - Backtracking (backtrackingClass.py) https://en.wikipedia.org/wiki/Backtracking
Algoritmo B - Backtracking com verificação adiante (backtrackingVAClass.py) http://www.dai.ifma.edu.br/~jcsilva/material/IA-aula-5-CSP-2012.09.23.pdf
Algoritmo C - Backtracking com verificação adiante e mínimos valores remanescentes (backtrackingVAMVRClass.py) http://www.dai.ifma.edu.br/~jcsilva/material/IA-aula-5-CSP-2012.09.23.pdf
obs.: Uma vez que número de atribuições pode ser muito grande para as podas mais fracas, o atual programa aborta quando o número de atribuições excede 1000000 e então imprime uma mensagem “Numero de atribuicoes excede limite maximo”.
Resultados
Ao rodar os algoritmos em um conjunto de testes formado por 95 jogos de sudoku, chegamos ao seguintes resultados:
Algoritmo A- Resolveu 65 de 90 jogos. Executou em 1588 segundos. Somou 42.300.674 atribuições durante sua execução.
Algoritmo B- Resolveu 82 de 90 jogos. Executou em 1078 segundos. Somou 23.094.370 atribuições durante sua execução.
Algoritmo C- Resolveu 90 de 90 jogos. Executou em 98 segundos. Somou 1.493.560 atribuições durante sua execução.
Análise
Com relação a Tentativas
Através do gráfico acima, percebe-se que houve uma redução no número de atribuições necessárias para resolver o Sudo Ku entre a execuções dos três métodos.
Percebe-se que o algoritmo A é o pior, ou seja, que mais precisa mais atribuir para resolver.
O algoritimo B reduz o número de execuções que estouraram o limite enquanto aumenta o número de amostras que resolvem o problema com menos de 130.000 atribuições.
Por fim, o algoritmo C executa praticamente todos 85/95 de amostras com menos de 130.000 atribuições e não estourou o limite.
Com relação ao Tempo Gasto na Execução
Analisando os tempo gasto na execução percebe-se que o algoritmo mais rápido é de fato o C. Analisando o algoritmo A e B, há um fato curioso, apesar do tempo geral de B ser menor que A, B em alguns casos é mais demorado que A!!!!
Porque? Bom, segundo minha análise, o tempo maior gasto em B em alguns casos ocorre devido ao fato que a cada atribuição consistente no tabuleiro requer a atualização de todos os valores que ainda não foram atribuídos e que são impactos por esta mudança.
obs.: Os testes foram realizados em uma máquina: MacBook Pro (Retina, 13-inch, Mid 2014), 2.6 GHz Intel Core i5, 8 GB 1600 MHz DDR3.
Executando o Programa
Usage: sudoku.py -p [a | b | c] [--cowmode]
"a : Verificação Adiante"
"b : Verificação Adiante"
"c : Verificação Adiante e MVR"
"--cowmode: Cow Heuristic"
Cow Heuristic
Referências
[1] https://uva.onlinejudge.org/external/9/p989.pdf
[2] http://stackoverflow.com/questions/1697334/algorithm-for-solving-sudoku