Supermarket Simulator 🌀

Indice

Introduzione
Astrazione del modello
Raccolta dei dati
- Convalida della distribuzione Teorica
Analisi matematica del Modello
- Parametri generali del Sistema
- Calcolo dei Parametri Teorici del Modello
Codifica del modello
Simulazione
- Analisi dei Risultati e Convalida
Proposte di miglioramento del modello
Conclusioni

Introduzione

Questo progetto consiste in uno studio relativo ad un supermercato locale 🏪: verranno definiti e analizzati i dati iniziali e le performance a partire da osservazioni reali. Si passerà poi ad applicarli e convalidarli mediante un modello di simulazione, sviluppato in Arena Simulation. Infine verranno illustrate alcune possibili soluzioni per il miglioramento delle performance generali del modello studiato.

L’ambiente verrà programmato per simulare le operazioni quotidiane del supermercato e dei relativi clienti. Perciò l’ambiente rispecchierà la conformazione dei locali e il processo attraverso il quale un cliente entra nel negozio, preleva i prodotti, paga alla cassa e infine esce dal negozio.

Astrazione del Modello ✏️

Per prima cosa è necessario definire un'astrazione del sistema da analizzare, in modo da poterla utilizzare per gli studi analitici a seseguire. È opportuno scegliere un livello di astrazione idoneo in quanto un livello di astrazione troppo specifico può rendere molto difficoltoso lo svolgimento dei successivi sviluppi e test del simulatore, mentre un livello di astrazione poco approfondito potrebbe portare ad ottenere dei risultati non coerenti con il modello reale.
Il sistema analizzato può essere rappresentato tramite un modello ad eventi discreti di tipo aperto, con spazio degli stati discreto. In particolare, una persona (cliente) che si reca nel supermercato può farlo per una o più delle seguenti ragioni:

Acquisto di beni nel reparto degli scaffali
Acquisto di beni nel reparto gastronomia

Una volta presi i beni di interesse, il cliente deve recarsi alla cassa per pagare per poi uscire dal supermercato.

Il sistema può quindi essere rappresentato con 3 nodi:

Reparto degli scaffali: il numero di serventi per questo reparto può essere ipotizzato come $\infty$ in quando non vi è un limite teorico al numero di clienti che possono contemporaneamente trovarsi in questo nodo. Il limite nell'atto pratico esiste ed è dovuto a limitazioni fisiche ma, per semplificazione non verrà considerato.
Reparto Gastronomia: il numero di serventi in questo reparto è pari a 1 in quanto c'è solo un operatore a disposizione dei clienti che li serve secondo un ordine FIFO
Cassa: il numero di serventi in questo reparto è pari a 2 in quanto il supermercato ha due commessi a disposizione per le casse adibite al pagamento. Tuttavia, ogni cassa ha una propria coda, quindi il modello deve essere mappato con un sistema composto da 2 nodi $M/M/1$.

Risulta necessario conoscere i tempi di servizio, la distribuzione degli arrivi al supermercato e il relativo utilizzo dei nodi da parte degli utenti. Ulteriori informazioni sulla raccolta dati e sui tempi di servizio del sistema, sono disponibili nella sezione Raccolta Dati.

Per conoscere la probabilità di ogni cliente di essere interessato ad usufruire di un determinato servizio all'ingresso del supermercato e la probabilità di ogni cliente di essere interessato ad usufruire di un secondo servizio una volta aver usufruito di un altro, è stato necessario monitorare il lavoro del supermercato in un giorno di apertura. Qui di seguito è riportato un resoconto che riporta i dati approssimati relativi alle informazioni ottenute:

Probabilità che un cliente, all'ingresso nel supermercato, usufruisca del reparto scaffali: $80%$
Probabilità che un cliente, all'ingresso nel supermercato, usufruisca del reparto gastronomia: $20%$
Probabilità che un cliente, una volta aver usufruito del reparto scaffali, sia interessato ad usufruire del reparto gastronomia: $15%$
Probabilità che un cliente, una volta aver usufruito del reparto gastronomia, sia interessato ad usufruire del reparto scaffali: $20%$
Infine i clienti possono scegliere di pagare in una delle due casse presenti al supermercato con una probabilità equamente distribuita del $50%$

Il sistema può quindi essere rappresentato dal seguente diagramma:

Raccolta Dati 📓

Per adempiere a questo scopo, si è deciso di monitorare inizialmente l'afflusso di persone nel supermercato nei due turni di attività: dalle 9:00 alle 13:00 e dalle 16:00 alle 20:00. Da una prima osservazione è risultato che il maggior numero di clienti vi è durante l'apertura pomeridiana. Si è così deciso di raccogliere i dati relativi agli ingressi in questo arco temporale (4 ore) in quanto il sistema viene maggiormente utilizzato.

Le 4 ore sono state suddivise in intervalli da 15 minuti l'uno, e qui di seguito è riportato un breve recap relativo alle frequenze osservate:

Numero totale di persone entrate nel supermercato: 99
Numero totale intervalli: 16
Numero minimo di frequenze osservate in un intervallo: 0
Numero massimo di frequenze osservate in un intervallo: 16

Convalida della Distribuzione Teorica 📍

A questo punto, è necessario determinare la Distribuzione Teorica corrispondente all'arrivo dei clienti nel supermercato. Per fare ciò, è necessario trovare un'ipotetica distribuzione ed effettuarne la relativa convalida. Qui di seguito sono riportati gli arrivi per ogni intervallo registrato:

Lower Bound	Upper Bound	$f_i$
16:00	16:15	0
16:15	16:30	1
16:30	16:45	2
16:45	17:00	2
17:00	17:15	7
17:15	17:30	9
17:30	17:45	12
17:45	18:00	11
18:00	18:15	16
18:15	18:30	14
18:30	18:45	9
18:45	19:00	6
19:00	19:15	5
19:15	19:30	3
19:30	19:45	1
19:45	20:00	1

Possiamo notare che l’andamento è il seguente:

Dalle 16:00 alle 17:45 gli arrivi tendono a crescere
Dalle 18:00 alle 18:15 abbiamo il picco massimo di arrivi
Dalle 18:15 alle 20:00 gli arrivi tendono a scendere

Successivamente a questa prima analisi si è scelto di passare alla scelta di un'ipotetica distribuzione e alla relativa convalida. Nel file data_supermarket_GoF.xlsx nella cartella 📂 data è possibile trovare tutte le informazioni a riguardo. Per riassumere brevemente i risultati ottenuti: si è scelto di utilizzare una Distribuzione di Poisson ed è stata convalidata utilizzando la tecnica della Goodness of Fit.

Nel grafico 📊 qui di seguito sono riportati i dati relativi alle frequenze ed è stato tracciato il grafico della corrispettiva Distribuzione Teorica:

Analisi Matematica del Modello 📝

Parametri Generali del Sistema 🎰

Nella fase di raccolta dati sono stati ricavati, dalle osservazioni, anche i Parametri Generali del Sistema.

Il numero medio di persone al minuto che arrivano al sistema è circa $0.41$ (uno ogni $2,4$ min $\rightarrow$ uno ogni $144$ secondi), infatti nelle 4 ore prese in esame, sono arrivati 99 clienti.

I tempi di servizio variano a seconda dell’operazione effettuata e sono riportati qui di seguito:

Reparto	Tempo di Servizio Medio	Servienti	modello di coda
Gastronomia	3 minuti	1	$m/m/1$
Scaffali	8 minuti	$\infty$	$m/m/\infty$
Cassa 1	3 minuti	1	$m/m/1$
Cassa 2	3 minuti	1	$m/m/1$

Calcolo dei Parametri Teorici del modello

Dalla struttura del modello si può dedurre che si tratta di un sistema a reti di Jackson: la classe dei modelli a rete di code di Jackson è formata da reti aperte, con centri di servizio esponenziali, arrivi Poissoniani e topologia probabilistica arbitraria indipendente dallo stato della rete.
Questo perché vi sono definite delle probabilità per cui un cliente può passare ad un altro nodo dopo averne usufruito di un altro. Ad esempio i clienti hanno una probabilità del $20%$ di usufruire del Reparto Scaffali dopo aver usufruito del Reparto Gastronomia.

Per calcolare i parametri dei vari nodi è necessario definire la routing table delle probabilità in quanto la formula da utilizzare per calcolare il parametro $\lambda$, di ogni nodo, è la seguente: $$\lambda_i = \gamma_i \sum_{j=1}^{M}\lambda_j p_{ji}$$ dove $p_{ij}$ è la probabilità di andare dal nodo j al nodo i e $\gamma_i$ è il tasso di arrivo dall'esterno al nodo i.
La Routing Table (o tabella delle probabilità) del nostro modello è la seguente:

$p_{ij}$	1	2	3	4
1	-	80%	20%	-
2	-	-	15%	85%
3	-	20%	-	80%
4	-	-	-	-

dove:

1 = arrivo
2 = Reparto Scaffali
3 = Reparto Gastronomia
4 = Cassa 1-2 (la probabilità di una singola cassa corrisponde alla metà della probabilità presente nella routing table)

Il parametro generale $\lambda$ per gli arrivi nel supermercato è circa $0,413$ $min^{-1}.$

Qui di seguito sono riportati i Parametri Teorici principali, calcolati dalle osservazioni, per ogni nodo del sistema.

Reparto Scaffali $M/M/\infty$

Metrica	Valore
Tempo medio di arrivo $\lambda$	0,357 $min^{-1}$
Tempo medio di servizio $T_s$	8 $min$
Tempo medio di interarrivo $\mu$	0,125 $min^{-1}$
Intensità del traffico di sistema $\rho$	2,862
Numero medio di utenti nel sistema $N$	2,862
Tempo medio di risposta $R$	8

Reparto Gastronomia $M/M/1$

Metrica	Valore
Tempo medio di arrivo $\lambda$	0,136 $min^{-1}$
Tempo medio di servizio $T_s$	3 $min$
Tempo medio di interarrivo $\mu$	0,333 $min^{-1}$
Intensità del traffico di sistema $\rho$	0,408
Numero medio di utenti nel sistema $N$	0,691
Numero medio di utenti in coda $W$	0,282
Tempo medio di risposta $R$	5,075
Tempo medio atteso in coda $T_w$	2,075

Cassa 1-2 $M/M/1$

Metrica	Valore
Tempo medio di arrivo $\lambda$	0,206 $min^-1$
Tempo medio di servizio $T_s$	3 $min$
Tempo medio di interarrivo $\mu$	0,333 $min^-1$
Intensità del traffico di sistema $\rho$	0,619
Numero medio di utenti nel sistema $N$	1,630
Numero medio di utenti in coda $W$	1,010
Tempo medio di risposta $R$	7,891
Tempo medio atteso in coda $T_w$	4,891

Codifica del Modello 💻

Per la codifica del modello abbiamo optato per l'utilizzo del software Arena Simulation Software in quanto, seppur non essendo uno strumento open-source, offre una licenza gratuita per gli studenti e risulta essere uno strumento molto potente (nonostante le limitazioni della licenza free).

Utilizzando il pratico editor per simulatori che offre Arena, tramite un semplice drag-n-drop siamo riusciti a modellare il simulatore come segue:

Modulo "Create" (Ingresso): è il modulo che si occupa di generare gli arrivi dei clienti al supermercato con i seguenti parametri:
- type: Random(EXPO)
- Value: 2.42
- Units: Minutes
- tutti gli altri sono inalterati
Modulo "Decide": permette ai clienti di scegliere se recarsi al reparto Scaffali, con l'80% di probabilità, o alla Gastronomia, con il restante 20% di probabilità. Ha i seguenti parametri:
- type: 2-way Chance
- Percent True: 80
Modulo "Process" (Scaffali): rappresenta gli scaffali del supermercato, si suppone non esserci coda e un Cliente in media trascorre qui 8 minuti. È stato realizzato con i parametri:
- type: Standard
- Action: Delay
- Delay Type: Expression
- Units: Minutes
- Allocation: Value Added
- Expression: EXPO(8)
Modulo "Process" (Gastronomia): rappresenta il reparto gastronomia, con al suo interno un solo addetto responsabile di servire i Clienti, che, in media, vengono serviti in 3 minuti. Il modulo ha i seguenti parametri:
- type: Standard
- Action: Seize Delay Release
- Priority: Medium(2)
- Resources:
  - Resource, Addetto, 1
- Delay Type: Expression
- Units: Minutes
- Allocation: Value Added
- Expression: EXPO(3)
Modulo "Decide": questo modulo permette ai Clienti di poter scegliere se muoversi dal reparto Scaffali alle Casse, con una probabilità dell'85%, o di dirigersi verso la Gastronomia, con il restante 10%. Ha i seguenti parametri:
- type: 2-way Chance
- Percent True: 85
Modulo "Decide": questo permette ai Clienti di poter muoversi dalla Gastronomia alle Casse, con l'80% di probabilità, o verso gli Scaffali, con il restante 20%. È composto dai seguenti parametri:
- type: 2-way Chance
- Percent True: 80
Modulo "Decide": questa ultima scelta permette al Cliente di decidere in quale Cassa pagare. La probabilità di scelta è equamente distribuita tra le casse con il 50%. Comprende i parametri:
- type: 2-way Chance
- Percent True: 50
Modulo "Process" (Cassa 1): questo nodo rappresenta la prima Cassa del supermercato in cui i Clienti possono pagare. È realizzata con i seguenti parametri:
- type: Standard
- Action: Seize Delay Release
- Priority: Medium(2)
- Resources:
  - Resource, Cassiere, 1
- Delay Type: Expression
- Units: Minutes
- Allocation: Value Added
- Expression: EXPO(3)
Modulo "Process" (Cassa 2): questo nodo rappresenta la seconda Cassa del supermercato in cui i Clienti possono pagare. È realizzata con i seguenti parametri:
- type: Standard
- Action: Seize Delay Release
- Priority: Medium(2)
- Resources:
  - Resource, Cassiere, 1
- Delay Type: Expression
- Units: Minutes
- Allocation: Value Added
- Expression: EXPO(3)
Modulo "Dispose" (Uscita): è il nodo finale che modella l'uscita del supermercato.

Simulazione 📊

Una volta completata la codifica del modello, abbiamo selezionato i parametri di configurazione per seguire il modello di convalida basato sul Metodo delle Prove Ripetute:

Number of Replication: 100
Warmup Period: 60 - Time Units: Minutes (necessario a stabilizzare il simulatore)
Replication Length: 1 - Time Units: Days
Hours per Day: 5
Base Time Units: Minutes

Con questa configurazione possiamo simulare le 4 ore pomeridiane di lavoro del supermercato che abbiamo monitorato nella fase iniziale, per diversi giorni lavorativi.

Analisi dei Risultati e Convalida

Il report completo della simulazione può essere consultato tramite il file report_simulazione_carrefour.pdf nella cartella simulator/ 📂 mentre, qui di seguito sono riportati e analizzati i risultati principali.

Per quando riguarda la Convalida, il software Arena restituisce mediante il parametro Half Width un range per la convalida dei risultati con una confidenza del $95%$. Questo significa che, dato un parametro di valore $x$, il range di confidenza per la convalida sarà dato dall'intervallo $[x-half\_width, \ x + half\_width]$. Nel caso in cui si voglia portare il livello di confidenza al $90%$ si può semplicemente applicare l'inversa della seguente formula, facendo riferimento ai valori dell'apposita tabella per la Distribuzione Cumulativa Normale:

$$\overline{x} \pm \mu_{\frac{\alpha}{2}} \frac{s}{\sqrt{n}}$$

dove $n$ è il numero di osservazioni e $\mu_{\frac{\alpha}{2}}$ è letto dalla tavola della distribuzione normale.
Per trovare l’intervallo al 90% calcoliamo prima $s$ che è uguale a

$$s = \frac{1}{1.96} \cdot \sqrt{100} \cdot half\_width(95\%) = y$$ si può ora calcolare il nuovo Half Width:

$$half\_width(90\%) = 1.645 \cdot \frac{y}{\sqrt{100}} $$

Nelle tabelle successive verranno riportati entrambi i valori di confidenza per avere un resoconto più completo.

System Indica il numero di utenti processati in media dal sistema. Possiamo notare che rispetta perfettamente il numero di frequenze totali raccolte dalle osservazioni.

Metrica Average

Number Out 99

Waiting Time
Tempo medio di attesa di
un utente nel sistema 5.1339

Total Time
Tempo medio speso da
un utente nel sistema 15.9064

Metrica	Average
Number Out	99
Waiting Time Tempo medio di attesa di un utente nel sistema	5.1339
Total Time Tempo medio speso da un utente nel sistema	15.9064

Cassa 1

Metrica	Average	Half Width 95%	Teorico	Half Width 90%
$T_w$ (Average Waiting Time)	4.4847	0.60	4.8913	0.5035
$W$ (Average Number of Clients Waiting)	1.0013	0.16	1.0106	0.1342
$\rho$ (Resource Utilization)	0.6227	0.02	0.6198	0.0167

Cassa 2

Metrica	Average	Half Width	Teorico	Half Width 90%
$T_w$ (Average Waiting Time)	4.3785	0.65	4.8913	0.5035
$W$ (Average Number of Clients Waiting)	0.9397	0.16	1.0106	0.1342
$\rho$ (Resource Utilization)	0.6046	0.02	0.6198	0.0167

Gastronomia

Metrica	Average	Half Width	Teorico	Half Width 90%
$T_w$ (Average Waiting Time)	1.9050	0.28	2.0758	0.2350
$W$ (Average Number of Clients Waiting)	0.2674	0.04	0.2829	0.0335
$\rho$ (Resource Utilization)	0.4045	0.02	0.4089	0.0167

Grafici 📊:
- Utilizzo delle risorse
- Cassa Teorico Vs Simulato
- Gastronomia Teorico Vs Simulato

Proposte di miglioramento del modello 📈

Possiamo notare come il modello rispetta già quelli che potrebbero essere dei limiti di attesa per i clienti, in quanto il tempo totale medio speso da un utente nel supermercato è di circa 15,9064 min con soli 5,1339 min di attesa.
Un possibile miglioramento, volto ad alleggerire il carico dei commessi in cassa (ora a circa il 60% di utilizzo) e a diminuire il tempo medio di attesa, può essere l'aggiunta di un'ulteriore cassa. Per mostrare le variazioni delle performance del sistema abbiamo quindi deciso di effettuare una nuova simulazione aggiungendo una nuova cassa. Il modello studiato presenta le stesse caratteristiche del precedente tranne per i nodi relativi alla cassa che passano da 2 $M/M/1$ a 3 $M/M/1$.
Il nuovo modello viene così rappresentato:

I Parametri Teorici dei nodi relativi alla cassa diventano i seguenti:

Cassa 1-2-3 $M/M/1$

Metrica	Valore
Tempo medio di arrivo $\lambda$	0.137 $min^-1$
Tempo medio di servizio $T_s$	3 $min$
Tempo medio di interarrivo $\mu$	0,333 $min^-1$
Intensità del traffico di sistema $\rho$	0.413
Numero medio di utenti nel sistema $N$	0.704
Numero medio di utenti in coda $W$	0.291
Tempo medio di risposta $R$	5.112
Tempo medio atteso in coda $T_w$	2.112

I risultati ottenuti dalle simulazioni sono i seguenti:

System Possiamo notare come il miglioramento delle prestazioni del sistema è minimo, in quanto si abbassa in media di circa soli $2$ $min$.

Metrica Average

Number Out 100

Waiting Time
Tempo medio di attesa di
un utente nel sistema 2.8283

Total Time
Tempo medio speso da
un utente nel sistema 13,8056

Metrica	Average
Number Out	100
Waiting Time Tempo medio di attesa di un utente nel sistema	2.8283
Total Time Tempo medio speso da un utente nel sistema	13,8056