黑球、白球各100，问最后剩下一个是黑球的概率

[瓶子君]

一个桶里面有白球. 黑球各 100 个，现在按下述的规则取球：
i . 每次从桶里面拿出来两个球；
ii. 如果取出的是两个同色的球，就再放入一个黑球；
iii. 如果取出的是两个异色的球，就再放入一个白球。
问：最后桶里面只剩下一个黑球的概率是多少？

[yelin1994]

这边得出的一些结论不知道对不对。

• 每次操作，桶中都减少一个球

• 桶中白球的个数都是成对存在的，也就是为偶数。

所以假设如下： 当桶中剩下三个球的时候分为以下几种情况

1. 白白黑
2. 黑黑黑
   最后的结果都是只剩下一个黑球。

[瓶子君]

解法一：

我们可一个用一个集合来表示桶中的黑球和白球的个数。从桶中取出球后，只可能是下列三种操作：

1. 取出的是两个黑球，则放回一个黑球：（-2， 0） + （1， 0） = （-1， 0）
2. 取出的是两个白球，则放回一个黑球：（0， -2） + （1， 0） = （1， -2）
3. 取出的是一黑一白，则放回一个白球：（-1， -1） + （0， 1） = （-1， 0）

根据上面的规则，我们可以发现：白球的数量变化情况只能是不变或者-2，也就是说，如果是100个白球，白球永远不可能是1个的情况，那么问题的解法就很简单了，就是只剩下黑球的概率为100%

解法二：

两个相同的球异或等于0，两个不同的球异或等于1，将黑球赋为0，白球赋为1

下面给出异或运算的一些规律：

1）偶数个1异或，结果为0；

2）偶数个0异或，结果为0；

3）奇数个1异或，结果为1；

4）奇数个0异或，结果为0：

可以作这样的抽象：每次捞出两个数字做一次异或操作，并将所得的结果丢回桶中。

因此最后的结果实际上相当于把所有的球都进行一次异或运算，最后所得的结果即为最后剩余的球。

就有可能是0 ^ 1 ^ 1 ……之类的情况，又因为异或满足结合律，上式可变为：

（0 ^ 0 ……^ 0） ^ （1 ^ 1 ……^ 1）两边都是100个，结果就是0，所以结果只能是黑球，就是只剩下黑球的概率为100%

[fxwing]

不管怎么取最后都会只剩下黑球