LeetCode题解：518. 零钱兑换 II，动态规划，JavaScript，详细注释

[Lee Chen]

原题链接：518. 零钱兑换 II

解题思路：

1. 假设输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]，如果用长度为amount + 1的dp数组递推，需要满足如下特性：

   • 如果用长度为amount + 1的dp数组递推。
   • 每个索引代表了递推到的金额。
   • 每个元素是硬币组合数。
   • 0位置是初始状态，设置为1，表示都从1种组合数开始递推。

2. 我们可以将其按照硬币种类拆分递推结果：

   • 硬币1：[1,1,1,1,1,1]
   • 硬币2：[1,0,1,0,1,0]
   • 硬币5：[1,0,0,0,0,1]
   • 硬币1、2：[1,1,2,2,3,3]
   • 硬币1、2、5：[1,1,2,2,3,4]

3. 递推方法如下：

   • 依次计算每个硬币面额coin的递推结果。
   • 当前金额i，是从i - coin添加了coin而来。
   • 当前新的硬币组合数dp[i]，等于上一种硬币递推到i的组合数dp[i]，加上i - coin的组合数dp[i - coin]而来。
   • 状态转移方程为：dp[i] = dp[i] + dp[i - coin]。

/**
 * @param {number} amount
 * @param {number[]} coins
 * @return {number}
 */
var change = function (amount, coins) {
  // 不断使用硬币组合，从0元一只组合到amount
  // 数组保存的是每个金额可用的硬币组合数量
  // 初始状态因为都没有递推，都为0
  let dp = new Array(amount + 1).fill(0);
  // 0位置设置为1，因为第一次递推都是从金额为coin开始
  // 状态转移方程为dp[i] = dp[i] + dp[i - coin]，这样dp[coin]的初始值就为dp[0]
  // 由于第一次要投一个硬币，因此dp[0] = 1，能保证正常递推
  dp[0] = 1;

  // 分别计算每个硬币可以组合成amount的方法数量
  for (const coin of coins) {
    // 小于coin的金额是无法通过coin组合而成
    // 一直递推到amount，就知道当前硬币组合成amount有多少种方法
    for (let i = coin; i <= amount; i++) {
      dp[i] =
        // 保留之前硬币可以组合出当前金额的方法数量
        dp[i] +
        // 当前金额，必然是从i-coin，添加coin金额硬币之后组合而成
        // 也就是当前金额是在i-coin的基础上变化而来，因此需要带上i-coin的组合数量
        dp[i - coin];
    }
  }

  // 最后组合成amount的方法数，就在amount位置
  return dp[amount];
};