LeetCode 96. Unique Binary Search Trees
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Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?
Example:
Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
这道题其实符合数学中某种数列的规律——卡塔兰数 Catalan Number。一开始,如果节点数n为0,那么返回1(空树也是二叉搜索树);n为1,只有根为1这一种情况,可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数,左右子树都是空树,所以1乘1还是1;n为2,分为根为1,2这两种情况。
创建一个n+1长度的一维dp数组,dp[i]表示n为i时的二叉搜素树个数,我们可以得出以下递推式:
dp[2] = dp[0] * dp[1] (1为根的情况,则左子树一定不存在,右子树可以有一个数字)
+ dp[1] * dp[0] (2为根的情况,则左子树可以有一个数字,右子树一定不存在)
解释:1为根时,还有一个点2,所以是dp[0] * dp[1];2为根时,同理是dp[0] * dp[1]。
n = 3时:
dp[3] = dp[0] * dp[2] (1为根的情况,则左子树一定不存在,右子树可以有两个数字)
+ dp[1] * dp[1] (2为根的情况,则左右子树都可以各有一个数字)
+ dp[2] * dp[0] (3为根的情况,则左子树可以有两个数字,右子树一定不存在)
相乘的原因是子树在根节点的基础上。最后代码如下:
class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j < i; ++j) {
dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
}
}
return dp[n];
}
}
参考资料: