太空电梯

[LM]

资源汇总：

1. Liftport: http://liftport.com/we-are-liftport/
2. Space Elevator wikipage:http://spaceelevatorwiki.com/wiki/index.php/Main_Page
3. Shadow height on space elevator: http://db48x.net/spaceelevator/

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今天听 Red Mars 里面建火星太空电梯的一段，突然意识到我们也应该设定一个火星的太空电梯呢。

《天堂的喷泉》里面也有火星的太空电梯，火星的作为地球的一个测试先建起来了，后面才是地球的太空电梯。

这里有篇文章对这个点子有些疑问。

1. 材料不够强
2. 弦上的振动。（我觉得这是个主要问题，《天堂的喷泉》里面建造的时候就体现出来了。不过可以在一定的阶段安装一些稳定装置，例如推进器之类的。）
3. 上下运动的电梯会造成严重的振动。这个问题可能比较严重。

我觉得设定有两个思路，一个是有了非常便宜的推进技术，如果有了这个，太空电梯就可能用处不大。不过作为一个过渡，或许可以在某年开始建起来，然后在很久之后由于从表面到太空变得太方便也太便宜了，可以作废而拆掉？

这里有一个月球太空电梯建造模拟：
http://www.gizmag.com/space-elevator-lunar-lift-liftport/35119/

公司名也有现成的了，LiftPort

可以设定成现在月球建造一个作为实验，然后在火星建造。

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http://wenku.baidu.com/view/97f446d7d1f34693daef3e9d?fr=prin
http://wenku.baidu.com/view/a2b232925ef7ba0d4a733b9a
http://wenku.baidu.com/view/e4da4685941ea76e58fa04a5?fr=prin

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https://www.youtube.com/watch?v=f8CpnKBnPC0

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http://www.isec.org/

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http://olliasheville.com/sites/olliasheville.com/files/Instructor_Handouts/Jaslow/Science__Tech_W_15/Space_Elevator_Presentation.pdf

21st Century Space Elevators – Advanced Earth-Space Infrastructure:NASA Report on Technology, Plans, Concepts, Materials, Environmental and Safety Issues.” January 2011

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07/17/2015 update

一篇文章，里面有力学部分的综述：
http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0601668.pdf

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07/20/2015 edit

太空电梯专门的 wiki 网站
http://spaceelevatorwiki.com/wiki/index.php/Main_Page

[Probe]

下次圆桌讨论一下吧，感觉并不靠谱

[ahh233]

我在果壳发过一篇相关的问答和小组贴，但我好像还是民科了，并没有考虑震动的问题。还有感觉果壳小组已经鬼了，然后我找到这个地方来了。

[Probe]

稍微推导了一下太空电梯的截面变化规律：
链接在这里：https://www.zybuluo.com/probe/note/101784
由于公式比较多而且还没有做完，先扔在这里供讨论和检查......
对于数学软件我也不是很会用，不知道最后一步复杂函数的积分方程怎么求解？？@emptymalei

太空电梯

标签（空格分隔）： Space 星际移民局

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太空电梯设计

相关常数、变量定义如下：

• $R$：行星半径；
• $h$：太空电梯总长度；
• $H$：行星同步轨道高度；
• $x$：任意位置距离行星表面的高度；
• $A$：$x$ 处的截面积大小；

为了保证整个太空电梯具有等强度设计，即任意截面上的正应力应该相等，要想确定横截面积 $A(x)$ ，应该满足什么样的规律，现进行如下推导：

截取 x 处的微元进行分析：

其中，$C(x)$ 为单位质量离心力，大小为 $\omega^2(R+x)$ ；
$W(x)$ 为单位质量重力，大小为 $\mu(R+x)^{-2}$ ；
因为任意截面上正应力相等，因此上下表面正应力均为 $\sigma(x)$ ；
下表面面积为 $A(x)$，那么上表面面积为 $A(x)+\frac{\partial A(x) }{\partial x}\mathrm{d}x$ 。

$x$ 方向上受力平衡，因此：

$\sigma (A+\frac{\partial A }{\partial x}\mathrm{d}x)+\rho A\mathrm{d}x\omega^2(R+x)-\sigma A-\rho A\mathrm{d}x\mu(R+x)^{-2}=0$

化简得到：

$\sigma = \frac{\rho A[\mu(R+x)^{-2}-\omega^2(R+x)]}{A'}$

令 $G(x) = \mu(R+x)^{-2}-\omega^2(R+x)$ ，则：

$\sigma = \frac{\rho AG}{A'}$

因为正应力不随 $x$ 的变化而变化，所以 $\sigma^\prime=0$ 。因此：

$\sigma^\prime=\rho \frac{-A''AG+(A')^2G+A'AG'}{(A')^2}=0$

在 $A'\neq 0$ 时：

$-A''AG+(A')^2G+A'AG' = 0$

这是一个二阶常微分方程，需要两个边界条件。首先可以从地面上太空电梯的初始横截面积入手，也就是：

$A(0)=S$

其次，假设设计的太空电梯不考虑配重的话，应该使整个结构的质心位于同步轨道高度，也就是：

$\frac{\int_0^hA(x)x\mathrm{d}x}{\int_0^hA(x)\mathrm{d}x}=H$

先代入第一个边界条件，解得：

$A(x)=\left(\begin{array}{c} S\ \mathrm{e}^{\frac{2, R, \left(\mathrm{C} + \mathrm{log}!\left(S\right)\right) - 2, \mathrm{C}, x - 2, \mathrm{C}, R + \frac{R, {\mathrm{\omega}}^2, x^3, \left(\mathrm{C} + \mathrm{log}!\left(S\right)\right)}{\mathrm{\mu}} + \frac{2, R^3, {\mathrm{\omega}}^2, x, \left(\mathrm{C} + \mathrm{log}!\left(S\right)\right)}{\mathrm{\mu}} + \frac{3, R^2, {\mathrm{\omega}}^2, x^2, \left(\mathrm{C} + \mathrm{log}!\left(S\right)\right)}{\mathrm{\mu}}}{2, \left(R + x\right)}} \end{array}\right)$

由于我数值积分不是很熟，做到这里不知道怎么代入第二个边界条件把A(x)解出来......所以暂时先写到这。

[LM]

解方程：https://www.zybuluo.com/emptymalei/note/102339

这样简化行么？

[Probe]

原来可以化简到这么简单......哭

[Probe]

上面的简化稍微有点问题：
从
dA′A′=d(AG)AG
到
ln(A′)=ln(AG)
丢了一个常数......

[Probe]

手动解出来这个式子：

$A(x) = exp{(［\frac{x\mu}{(R+x)R}-\frac{1}{2}\omega^2(2Rx+x^2)］C_1+\ln S)}$

还剩一个常数 C_1 没有确定

[LM]

所以剩下的这个就是用 H 那个限制条件来解出来吧。把现在的A 代进去，就能找到 C1 和 H 的关系。不过看起来挺麻烦的。来试试 Mathematica .

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Edit: 试了下发现解不了。虽然看起来是个指数我还以为会挺简单的，但是指数上面的东西太复杂了。

所以剩下的就是数值解了。把数值代进去，联立两个方程解出来。不过看起来也不简单，有个积分的限制条件啊。

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不知道先对那个重心的方程来个 Laplace 变换再解会不会有帮助。这样就没有积分了变成多项式了。

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Laplace 变换做不了，太复杂了。

[LM]

关于太空电梯，你有时间的话可以当作 LePtC 那类文章，写篇扔给果壳，问问窗敲雨。比如太空电梯的一些问题啦计算之类的。

关于最后的方程的解，我觉得需要进一步简化。但是我也没有好的办法。
https://www.zybuluo.com/emptymalei/note/102339

[Probe]

对啊，忘记考虑应力对横截面积的影响了......
上面那个截面积如此之大的原因是因为C1肯定不能取1，需要把C1降低好几个数量级横截面积才有可能符合要求。

关于应力对截面积的影响，应该满足下面这个式子：

$\mathrm{d}A/A ＝2\mathrm{d}D/D = -2\mu\epsilon= -2\mu\sigma/E$

\mu是泊松比，一般取0.2～0.3

不知道代入到哪个地方合适......

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我觉得应该不用考虑上面的影响，如果把 σ 取为材料（比如碳纳米管）的强度的话，也就是 100GPa，模量取 10^3 GPa，那么 dA = −2μσ/E*A ＝ -0.06A，也就是说应力对横截面积的影响最多只能达到 6% 可以暂且忽略。

[LM]

@ProtossProbe 嗯嗯，我原来糊涂了。不用考虑。你考虑的是等应力的，所以其实应力的大小是通过横截面积的初始条件给定的。

[Probe]

已更新

[LM]

@ProtossProbe 我看完了，加了两个评论。

除此之外，还有一个问题，就是整个计算中，是假定整个电梯从地面到最上面全部是保持应力相同。然而实际上电梯到达同步轨道之后，再往高处，电梯绳所受的力可就是离心力大于引力了。并且，也没有必要建造更高的绳子了，如果建造更高的绳子也会引来更多的麻烦，毕竟在轨道上一根绳子的运动是很复杂的。

所以就跟我之前在这里写的那句一样，我们可以要求“从地面到同步轨道的积分重量和配重合起来重心在同步轨道”。也就是说在同步轨道上建造一个比较大的平台，如果质量足够大的话，就可以去掉绳子重心在同步轨道上这个限制条件，换成绳子长度为同步轨道长度。

这样还算合理么？

[Probe]

@emptymalei 嗯，我也认为应该要在同步轨道附近进行配重，用调节积分常数的方法让重心位于同步轨道好像很不现实......不过这个配重的增加与否应该不影响前面对于等应力假设下横截面积的推导。所以选好材料以后，C_1就已经确定，选好地面最初的横截面积（这个应该可以通过设计的运载能力来确定），C_2就已经确定，这样整个太空电梯的截面变化规律就已经确定，然后就可以通过这个容易算出所需的配重及其位置。

结构大体确定了的话，剩下的就是振动以及动力学的分析了→_→

[LM]

@ProtossProbe 不影响公式，但是这样的话就不是对绳子积分后质心在同步轨道了，因为没有必要在同步轨道之上再设置很长的绳子来平衡轨道之下的绳子的质量了。所以就只是去掉质心在同步轨道高度这个限制条件，换成绳长是同步轨道那么高。

[Probe]

最近刚学完ANSYS和振动，看看能不能扔到有限元软件里面分析分析╮(￣▽￣)╭算算模态什么的

[LM]

好的。有限元软件算一维，其实自己写程序也不麻烦。不过有个问题啊，受力分析的话，需要考虑到地球是个非惯性系，把完整的科里奥力力要加进来吧。

我也想想怎么处理振动的问题。

[Probe]

如果科里奥利力是小量的话是不是可以忽略了

[LM]

倒是可能可以先忽略，因为先只是考虑弦振动的话，弦振动时受到的弦上的应力要远远大于科里奥力力的大小，所以可以忽略这个吧。

后面如果要考虑货舱的话，那个可能需要考虑一下，因为那时候弦上的应力跟货舱科里奥力力比可能并不是足够大。

想想这个还是挺复杂的。

[LM]

看到一篇文章，里面列举了几个问题：

1. 陨石摔坏
2. LEO 卫星的问题（撞上）
3. 大气腐蚀：Atomic oxygen damage will remove epoxy/nanotube material at a rate of approximately 1µm/month.
4. 闪电： the probability of a nearby strike is estimated at 1 every 13 years based on data gathered
   in Alaska.

[Probe]

看到有国内媒体报道加拿大公司申请了一项 20 km 太空电梯的专利，然后在 Space.com 上搜索了一下相关新闻
http://www.space.com/30272-space-elevator-inflatable-concept-patent.html

[LM]

读了一下，感觉好像只是一个柱子撑起来？
并没有搜到这家公司近期的专利呢，他们有个 08 年的太空电梯专利。

[LM]

我单独建立了一个太空电梯的 repo：https://github.com/InterImm/spaceElevator

正在写的为振动相关的计算的文档，公式的推导和数值计算的相关内容： https://github.com/InterImm/spaceElevator/blob/master/docs/spaceElevatorOscillations.md

还没写完，计划是理论和计算写出来看看太空电梯这种系统都有什么特殊的。

[Probe]

推到这里，后面分离变量后振型函数是一个非线性微分方程啊...= =

[LM]

@ProtossProbe 所以才需要数值来做的。不过我觉得我们这个方程会简化成一个别人已经研究过的方程，需要用到特殊函数。大概需要翻一下王竹溪的《特殊函数概论》看看有没有。

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不过看起来是可以用变化参数法来解的，我没试过，看起来比较麻烦。先翻翻王先生的书比较简单。

[LM]

@ProtossProbe

我更新了。https://github.com/InterImm/spaceElevator/blob/master/docs/spaceElevatorOscillations.md

更新的部分包括：

1. 证明大多数情况下我们不需要考虑 A(x)'/A(x) 一项，因为很小；
2. 写出做了近似之后波动方程的解，并且分析；
3. 更新了完整的方程的一点点解析的尝试；
4. 添加来地球和火星的一些数据和太空电梯的参数；
5. 把相关的推导和证明都整合进了这个文件；
6. 写了为什么我们需要数值方法。

[Probe]

A(x)=A0exp(ρσ[GM(1x−1x0)+12Ω2(x2−x20)]),
不对吧，exp里面差一个负号？

不然后面的A'(x)/A(x)这一项算出来是负的

[LM]

@ProtossProbe 对对，是差了个符号。已经改正。

[Probe]

X′′x+A′AX′X=T′′Tv2,
这个公式 X'' 的下面应该是大X吧？后面也一样

[Probe]

以及边界条件的问题，X(0)=0,X(L)=0。
这里的小x应该是从地面算起的。
但是方程中X′′+ρσ0(−GM/x^2+x*Ω^2)X′+gX=0
这里面的小x应该是从地心算起的。
这样的话，边界条件应该是X(R)=0,X(R+L)=0。

[LM]

@ProtossProbe x 那个改了。不过这个边界条件错了，后面的通解需要重新推导。等再看看。

[LM]

http://www.nss.org/settlement/mars/2003-SpaceColonizationUsingSpaceElevatorsFromPhobos.pdf