Pregunta ayudantia semestre pasado

[sole bravo]

Hola! estaba haciendo la ayudantia 10 del semestre pasado, y entiendo la primera parte, pero luego no entiendo porque demuestra que g(n) ∉ O(f) y no la alternativa 3). ¿Por que lo esta demostrando por los dos lados? y si es asi ¿Pq no demuestra la 3?

[c4e]

Hola!

Demostrar que $n^{sin(n)} \not \in \mathcal{O}(\sqrt{n})$ es lo mismo que demostrar que $\sqrt{n} \not \in \Omega(n^{sin(n)})$. Si nos fijamos en el uso de la definición de $\mathcal{O}$ al decir que $n^{sin(n)} \in \mathcal{O}(\sqrt{n})$ (por contradicción), podemos dividir por $c$ a ambos lados de la inecuación y reemplazar $c^\prime = c$, con lo que obtenemos la definición de $\Omega$, y efectivamente estamos diciendo que $\sqrt{n} \in \Omega(n^{sin(n)})$.