Pregunta 1.b

[Pablo González Calderón]

Buenas noches

Tratando de cranear la pregunta 1.b durante el día, me he dado cuenta que muchas veces termino llegando a funciones de la forma $$f : E \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(A))$$ que son inyectivas y (creo) sobreyectivas, por lo que quería saber si estaba bien redactada la pregunta. Varios de mis amigos también me han comentado que han llegado a funciones "útiles" (pueden demostrar inyectividad sin problema), pero que terminan mapeando al potencia del potencia de $A$. Entonces, preferí igualmente preguntar jsdjsjd

Gracias de antemano ✨
Bonito finde

[VAMarques]

Solo mi comentario, esta pregunta estoy seguro que debe tener algun error en el enunciado, pues siento que falta informacion para responderla.

Pero con lo que pasa aca, te creo con que sea inyectiva, yo encontre tambien algo asi, el tema es que demostrar sobreyectividad probablemente sea una falacia.

A lo que me refiero, es que hay cierta informacion que indicaria que esta pregunta lleva a algo plausible, pero por lo que he visto la falta de clarificacion lleva a muchos problemas.

Un ejemplo, es que si tuvieramos el axioma de eleccion, entonces hay una propiedad que deberia ser muy util, $|A| = |A\times A|$, sabemos que para todo $\sim$, $\sim \subseteq A \times A$, entonces tendriamos que $|\sim| \le |A \times A|$, luego seria un poco intuitivo que $|E| \le \mathcal{P}|A|$, pues $E$ es un conjunto de relaciones de equivalencia, similar a la idea de un conjunto potencia.

Sin embargo no tenemos permitido usar el axioma de eleccion, es decir, si estas diciendo cosas como "Se elige..." "Se escoge como representante..." parece existir un problema, pues esto podria aludir al axioma de eleccion.

Lo que yo pensaba es que quiza $A$ era numerable... pero sin esa informacion, se vuelve muy dificil trabajar pues no sabemos nada de las propiedades de $A$, y no se puede asumir nada, pues podria ser que $|\mathbb{N}|<|\mathbb{A}|<|\mathbb{R}|$, pues tampoco podemos usar la hipotesis del continuo. Y tambien es posible que no exista ningun orden para los elementos de $A$, pues nunca supimos si estos siempre existen.